Probas et limite poissonienne

[deep_turtle]

Bonjour,

Je sèche sur un problème et je vous le soumets, au cas où quelqu'un aurait des pistes de réflexion à me proposer !

Alors voilà, j'étudie un problème dans lequel une quantité S (un signal astrophysique) est constituée de la somme de plein de petits signaux indépendants . Chacun des petits signaux est modélisé par une variable aléatoire dont je connais la distribution de proba


Je m'intéresse à la distribution de proba du signal tota S, et je m'aperçois que dans une certaine limite, cette proba tend vers une gaussienne. ça, je le comprends car c'est le théorème central-limite, qui me donne aussi la moyenne et la variance de la proba totale en fonction de celle de chaque . Jusque là tout va bien (pour moi, j'espère qu'il y a encore des lecteurs... ).

Dans une autre limite -- quand la proba élémentaire est très piquée en 0, je m'aperçois que la distribution de proba totale tend vers une poissonienne (une exponentielle décroissante) -- ce que je comprends intuitivement mais je n'arrive pas à formaliser ce résultat, ni à trouver des théorèmes généraux à ce sujet...

Merci de votre aide si tout ça vous semble évident !!!
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[Coincoin]

Salut Deep,
Y a peut-être à chercher du côté du fait que la loi de Poisson est la limite de d'une loi binômiale : une loi binômiale de paramètres n et p tend quand n tend vers l'infini et p vers 0 vers une loi de Poisson de paramètre .

[GuYem]

Salut

L'application du théorème central limite ne peut se faire que si toutes les s_i ont la même loi. A ce moment la loi de S tend vers une gaussienne de moyenne celle des s_i et de variance pareil.
Je ne connais pas de versions de ce théorème où les s_i n'ont pas la même loi.

Je ne comprends pas vraiment ta question qui parle de proba élémentaire trés piquée en 0. Sont-ce toujours les mêmes s_i et la même somme S ?

[deep_turtle]

oui, tous les s_i ont la même loi. Je peux la donner d'ailleurs, c'est

où s_i est défini entre une valeur s_inf et 1.

Pour Coincoin, en effet quand c'est une loi binomiale je comprends bien ce qui se passe, mais pour ma distribution je beugue.

[A voir en vidéo sur Futura]

[GuYem]

Je me permets d'insister mais je ne comprends pas ton deuxième problème de truc qui tend vers un poisson.

C'est quoi qui tend vers ça ? Tu pourrais être plus précis ?

[invite636fa06b]

Bonjour,

Je ne crois pas qu'on puisse parler ici de loi de Poisson car il s'agit d'une variable continue dont l'espérance et la variance sont très différentes. Il vaut mieux s'en tenir à une loi exponentielle décroissante, ce qui évite les tentations de se ramener à la convergence de la loi binomiale.
Comme GuYem, je ne comprends pas bien l'expression "très piqué en 0". J'imagine que ça peut correspondre à s_inf tend vers zéro car alors variance et espérance s'approchent.
A ce propos, est-ce s_inf est identique pour tous les s_i ?

[invite636fa06b]

(suite)
En regardant le comportement de tes fonctions élémentaires de probabilité, on voit qu'elles se rapprochent d'un pic de dirac lorsque s_inf tend vers zéro.
Il n'est alors pas très surprenant que la sommation d'un nombre fini de s_i conduise à quelque chose qui ressemble à une exponentielle décroissante.
Le théorème central limite permet de prévoir la convergence vers une loi normale mais à une vitesse qui dépend de la forme de la distribution élémentaire.
Dans le cas où s_inf est petit, cette convergence est très lente et les sommes restent distribuées selon une allure qui est celle de la distribution élémentaire (le pic s'adoucit progressivement, ce qui rapproche d'une exponentielle décroissante).

[invite636fa06b]

(suite de la suite)
A la réflexion, l'idée de loi de Poisson n'est peut-être pas à rejeter.
Si l'on suppose que s_inf est très petit, on peut envisager deux possibilités :
s_i est inférieur à h avec h très petit mais une proba forte
s_i est supérieur à h
Et pour chaque possibilité attribuer à chacune l'espérance de s sur l'intervalle envisagé.
Dans ce cas, on retrouve bien une loi binomiale qui s'approche par une loi de Poisson.
Bon tout ça reste à creuser