Probabilités : table de fakir, loi binomiale, normale, gaussienne... et un autre problème!

[invite3981915e]

Bonjour ici bas. C'est lundi matin, donc je m'echauffe les meninges comme je peux.
Tout a l'heure, je pensais à la gaussienne (la fonction exp(-x²) ou exp(-x²/2), je fais pas bien la différence, ca doit etre pour des questions d'integration et avoir une loi de probabilité sur tout R...). Mais je m'egare...

Si on prend comme lieu d'éxpérience une "table de fakir" avec des clous bien disposés et qu'on jette des billes depuis le centre, on obtient, étape après étape, une répartition qui suit la loi binomiale de Newton et le triangle de Pascal. si on écrit D pour "la bille va à droite" et G pour "elle va à gauche" et que les résultats sont commutatifs (ie "G puis D" = "D puis G"), on obtient, à l'étape 1, 1/2 pour G, 1/2 pour D. A l'étape 2, on a 1/4 pour GG, 2/4 pour GD, 1/4 pour DD.... a l'étape 4: 1/16, 4/16, 6/16, 4/16, 1/16 et on retrouve donc le triangle de Pascal dans la distribution des billes.
Ma question est: comment passe-t-on de cette répartition (discrète) à celle, continue, donnant la formule de Gauss en exp(-x²)?

Et, mon autre question:
Dans la précédente expérience, on lançait les billes à partir du milieu de la table de fakir, qu'on pouvait imaginée centrée en 0, et d'extrémités -l/2 et l/2 (pour une table de hauteur h et de largeur l). (et la densité de probas est obtenue, j'imagine, en faisant tendre l vers l'oo)
Que se passe-t-il si on répète l'expérience, mais cette fois avec le flux de billes partant depuis une des extrémités de la table? Par exemple, complètement à gauche? Au tout début, elles iront toutes à droite, puis la moitié reviendra à gauche pendant qu'une autre moitié ira à droite, etc....Il va y avoir des effets de bordures, et la répartition va en être profondément modifiée. Un premier calcul que j'ai pu faire montre, à l'étape 4 par exemple (là où on compte en 16e): 1/16, 5/16, 10/16 soit [1,5,10] là où, chez Pascal, on avait [1, 4, 6, 4, 1]. (cf photo)

Et donc, question qui englobe tout:
si, dans la 1ere expérience, la répartition suivant le triangle de Pascal nous amène à considérer une fonction exp(-x²) qui court de -oo à +oo, qu'advient-il dans la 2e expérience, avec une fonction (toujours une exponentielle décroissante?) qui irait de 0 à +oo.


Merci de vos lumière
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[invite23cdddab]

Ma question est: comment passe-t-on de cette répartition (discrète) à celle, continue, donnant la formule de Gauss en exp(-x²)?

Il s'agit du théorème de Moivre-Laplace

[invite9dc7b526]

Que se passe-t-il si on répète l'expérience, mais cette fois avec le flux de billes partant depuis une des extrémités de la table? Par exemple, complètement à gauche? Au tout début, elles iront toutes à droite, puis la moitié reviendra à gauche pendant qu'une autre moitié ira à droite, etc....

y'a pas de "au début" et de "puis" dans cette expérience: les (positions des) billes sont censées être indépendantes et de même loi.

[Dlzlogic]

Bonjour,
A ma connaissance, cette "table de fakir" plus connue sous le nom de "Planche de Galton", ne sert qu'à visualiser le phénomène qui est la base des probabilités. Cette expérience n'a d'intérêt que si on utilise un grand nombre de billes et qu'on aménage, au bas de la planche, des petits godets où s'accumuleront les billes, à la fin de leur cheminement. Une petite recherche sur le Net vous permettra de voir de très jolies simulations.
En fait votre question concerne la modification d'une méthode explicative. On aurait pu aussi la présente sous la forme de tir à l'arc sur une cible à laquelle on aurait rajouté une cloison rebondissante passant par son axe de symétrie.

[A voir en vidéo sur Futura]

[leon1789]

Bonsoir
*** Attaques ad hominem ***

Que se passe-t-il si on répète l'expérience, mais cette fois avec le flux de billes partant depuis une des extrémités de la table? Au tout début, elles iront toutes à droite, puis la moitié reviendra à gauche pendant qu'une autre moitié ira à droite, etc...

Vu le dessin explicatif, il me semble que la fonction de masse de la loi (discrète) obtenue serait

- pour n est pair
pour ;

- pour n est impair
pour ;
.

Du coup, si on fait tendre n vers l'infini, alors la loi continue limite devrait être le double de la gaussienne (sur les réels positifs).

[invite3981915e]

Merci a tous d'elargir mes horizons grace a vos commentaires, et tout particulierement a tryss2, qui va me faire reviser ma loi binomiale. A tryss et a léon, qui me trouve une fonction de repartition qu'il m'est peine a comprendre (mais, pour ce que j'en vois, ca m'apparait logique de faire une distinction entre n pair et n impair, donc pour le reste je lui fais confiance!)

Je m'occupe de ca des que j'ai une minute (a la base je fais des etudes d'electronique et d'automatique, donc un peu loinde cet univers là, c'est juste une question venue me tarauder voila quelques jours) et je reviendrai vous saluer plus genereusement!