Transport Parallèle

[Curuxa]

Bonjour à tous,

J'aurais besoin de fixer, de façon informelle (un peu avec les mains quoi) la notion de transport parallèle, j'ai encore peur de mélanger un peu tout... Pour l'instant voici ce que je crois comprendre :

Si on se donne deux points et d'une variété V et un champ vectoriel sur V, alors le transport parallèle d'un vecteur est une application de vers qui répond à la question « comment transporter un vecteur d'un plan tangent vers un autre» et dont la définition dépend (évidemment) des deux points choisis comme point de départ et d'arrivée du transport mais aussi du chemin (la connexion) choisi pour relier ces points et, finalement, d'une « règle » qui définit ce que l'on entend par « parallélisme » (généralisation de la notion évidente d’équipollence dans un espace euclidien mais qui demande une spécification dans des espaces courbes), par exemple, avec Levi-Civita la règle est de conserver la norme et d'obtenir des coefficients de connexions symétriques relativement à leurs indices covariants.

Si on pose qu'une telle application est donnée (en terme de composantes) par (*) on détermine entièrement le transport parallèle (chemin emprunté, règle de transport et point d'origine et d'arrivée) dés lors que l'on fixe les coefficients dits de connexion.

Avec ça j'arrive pas mal à aborder la notion de dérivée covariante mais, comme je bricole tout seul pour l'instant, même si ça me semble presque clair, je cherche ici une confirmation.

Merci aux lecteurs!


(*) où est la muème composante du vecteur transporté et où, finalement, cette représentation n'est pas contre intuitive puisqu'on part du principe (si tous nuls) que le vecteur est transporté selon le schéma euclidien et où, les qui sont les différences des coordonnées de et tiennent compte d'une certaine "distance" de transport.
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[invitecbade190]

Salut :

Si on pose qu'une telle application est donnée (en terme de composantes) par (*) on détermine entièrement le transport parallèle (chemin emprunté, règle de transport et point d'origine et d'arrivée) dés lors que l'on fixe les coefficients dits de connexion.

...

où est la muème composante du vecteur transporté et où, finalement, cette représentation n'est pas contre intuitive puisqu'on part du principe (si tous nuls) que le vecteur est transporté selon le schéma euclidien et où, les qui sont les différences des coordonnées de et tiennent compte d'une certaine "distance" de transport.

Je vais commenter sur le passage qui porte sur le transport parallèle qui n'est pas très claire ici il me semble:
Alors :
Sauf erreur de ma part :
est la composante du vecteur :
Ecris mieux comme ça :

avec : les coordonnées de et les coordonnées de , et une trivialisation locale sur l'ouvert de la variété , et avec : et bien sûr le fibré tangent est : . Tout ça est claire non ?. et donc, n'est autre que la traduction en coordonnes locales de la définition de ce qu'est un relèvement d'une courbe sur sur le fibré tangent avec : et et sont deux temps fixés ( donc, un chemin entre deux points : ) . Donc, voilà : est un relèvement de et le transport parallèle est plutôt est définie par l'application de passage d'un fibre à un autre, c'est à dire : définie par : , c'est à dire : avec : et , et et sont les extrémités du chemin : .

[Curuxa]

Merci beaucoup pour cette réponse qui a du prendre un bon moment à écrire!

Par contre je n'y comprends pas grand chose du fait que trop de concepts me sont étrangers (fibré, trivialisation, relèvement...)

Sauf erreur de ma part :
est la composante du vecteur :

on voit mieux je trouve sans écrire les sommes (convention Einstein), et le vecteur serait plutôt:

avec les vecteur de base au point P' ... Si on introduit les et comme vous le suggérez, on retombe il me semble sur le problème qui, justement, demande de faire appel au transport parallèle: on ne peut pas comparer des vecteurs appartenant à deux espaces distincts.
(?)

[invitecbade190]

Salut :

De manière la plus rapidement possible :
D'abord, pour les fibrés tangents : :
On part d'un fibré tangent : qui localement sur un ouvert se met sous la forme :
.
De manière imprécise et sans entrer dans les détails, on passe à sa différentielle en : tel que
qui s'écrit :. Cela signifie que un vecteur : s'identifie à un vecteur
, c'est à dire : .
Cette identification se fait à l'aide d'un isomorphisme et on a en réalité : , mais on préfère tout simplement noter : pour simplifier la compréhension puisqu'il s'agit d'un isomorphisme. s'appelle trivialisation locale.
Alors, on a une suite exacte comme suit : où les
flèches de la suite de gauche à droite sont respectivement : et
où : est la différentielle de l'application injection canonique :
.
Pour , une base de est alors donné par :
où : est une base de et est une base de .
Il s'ensuit que : pour : allant de : à : et pour allant de : à : .
Maintenant, pour les relèvements : d'un champ de vecteur : :
Si est un fibré tangent et est un champ de vecteur sur définie par : de classe , alors son relèvement est un champ de vecteur sur définie par : de classe qui vérifie
les propriétés suivantes :
- .
- L'application est linéaire.
Il faut aussi savoir que tout relèvement sur de sur est de la forme suivante sur une trivialisation locale : si : .

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecbade190]

Je corrige un passage :

... Maintenant, pour les relèvements : d'un champ de vecteur : :
Si est un fibré tangent et est un champ de vecteur sur définie par : de classe , alors son relèvement est un champ de vecteur sur définie par : de classe qui vérifie les propriétés suivantes :
- .
- L'application est linéaire. ...

Voila.

[azizovsky]

tu peut écrire : sous forme :

pour revenir au différentielle géodésique:

(j'ai un doute sur la position des indices )

[azizovsky]

un vecteur est géodésiquement translaté si sa différentielle géodésique est nulle . (contrairement à la différentielle forcée).

[azizovsky]

.

[invitecbade190]

Salut azizovsky :

Si je ne m'abuse :
L'indice résulte de ce qui suit :
D'après la suite exacte plus haut : , on constate qu'il existe la relation : avec : s’appelant un espace horizontal est isomorphe à . Alors : qui signifie que si les sont des vecteurs libres qui engendrent , alors, d'après cette formule : , on aboutit à la formule avec indice négatif.

Cordialement.