Coordonnées sphériques/cylindriques

[inviteb49dfe16]

Bonjour,

Premièrement je ne suis pas un mathématicien, je vous serais énormément reconnaissant de ne pas me noyer dans des théories complexes, car je pense que les réponses aux questions que je me pose sont relativement simples.

Donc, je suis emmer*é depuis deux ans déjà par ses fichus systèmes de coordonnées. J'en ai souvent besoin en sciences industrielles aussi bien qu'en physique, cependant, je n'ai jamais reçu de cours sur le sujet, et mes connaissances sur ces coordonnées sont limitées.
Ainsi, on ne m'a jamais dit par quels vecteurs étaient dirigés les éléments de surface des différentes coordonnées. Je n'ai pas réussi à trouver sur internet non plus, or, dans les exercices que je fais, ces éléments sont dirigés par des vecteurs.
J'ai l'impression que (et c'est là que vous pourrez m'éclairer):

-coordonnées polaires; ds=r*dr*dtheta porté par le vecteur normal

-coordonnées cylindriques; ds=r*dz*dtheta je ne sais pas par quel vecteur il est porté?

-coordonnées sphériques; ds=r^2*sin(theta)*dtheta*dphy porté par er?

Comme je vous l'ai dit au départ, j'aimerais juste savoir enfin les résultats (même si les démonstrations doivent être très intéressantes j'en suis certain!).

Des milliers de merci d'avance.
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[Sethy]

Pour les coordonnées polaires, le mieux est d'imaginer une rondelle d'ananas, que tu découpes par exemple en 8 morceaux identiques.

La surface d'un morceau (infinitésimal) est donné par la largeur de la rondelle d'ananas (= dr) multiplié par la longueur de l'arc. Or cette longueur va dépendre de l'angle (dtheta) mais aussi du rayon car au plus le rayon de la tranche est grand, au plus, avec un même angle, la longueur de l'arc est importante. Donc la longueur de l'arc vaut r.dtheta. L'élément de surface total vaut bien : r.dr.dtheta.

Toujours pour les coordonnées sphériques, mais si on prend la surface de la boite qui a contenu les ananas (pas le sommet et la base, ça, c'est pi.r^2) mais un élément de surface, c'est le produit de la longueur de l'arc (on vient de voir, c'est r.dtheta) par la hauteur ici forcément dz. Donc, c'est bien r.dtheta.dz.

Pour la sphère, c'est un peu plus compliqué. Il faut imaginer une orange et un quartier. La surface s'obtient en multipliant la longueur de la latitude par la longueur de la longitude. La latitude, c'est facile, c'est un arc de cercle (c'est le bord du quartier) et un arc on connait sa longueur : r.dtheta. Pour la longitude, c'est plus difficile. En effet, à l'équateur, la longueur est maximale, tandis que si on se rapproche du haut ou du bas de l'orange, ça diminue. La longueur n'est pas simplement r.dphi mais bien r.sin(theta).dphi. L'élément de surface est donc bien : r^2.sin(theta).dtheta.dphi

Par contre, pour cette histoire de vecteur, tu fais une erreur (enfin, je pense). A ce sujet, j'aimerais te poser une question.

Imagine que tu ai un cercle dessiné sur une feuille de papier. Où places-tu les vecteurs normaux ?

[inviteb49dfe16]

Salut,

Tout d'abord merci pour ta réponse, mais c'est vraiment cette histoire de vecteurs qui m'embête.

Si on a un cercle sur une feuille de papier les vecteurs normaux sont perpendiculaires au plan défini par la feuille, soit ils rentrent dans la feuille, soit ils en sortent.

[invite57a1e779]

Bonjour,

Je n'ai pas compris la question, mais le vecteur «élément de surface» en un point est normal à la surface au point : où est le vecteur unitaire normal «sortant» de la surface.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

D'une part, suivant comment on regarde la feuille (de quel côté de son plan on est) un vecteur entrant est un vecteur sortant !

D'autre part, pour un cercle dans un plan, les vecteurs normaux au cercle sont dans le plan, le vecteur normal unitaire sortant en M étant .

Mais tu voulais peut-être parler d'un disque plan dans l'espace ...

Cordialement.

[Sethy]

Salut,

Tout d'abord merci pour ta réponse, mais c'est vraiment cette histoire de vecteurs qui m'embête.

Si on a un cercle sur une feuille de papier les vecteurs normaux sont perpendiculaires au plan défini par la feuille, soit ils rentrent dans la feuille, soit ils en sortent.

Bien, c'est un bon début

Le cas des coordonnées cylindriques

On va faire simple, on va imaginer un boite de conserve. Pour les deux couvercles, tu l'as bien exprimé, les normales sont perpendiculaires au couvercle et passent par le milieu (= l'axe de rotation/symétrie de la boite).

Imagine maintenant que tu dessines, sur le côté de la boite, un petit rectangle (a la limite, on imagine que tu enlèves le papier publicitaire qui entoure la boite, que tu y dessines un petit rectangle parallèle aux bords et que tu replaces le papier publicitaire sur la boite). Comment sera dirigé le vecteur normal ?

Il ne peut être dirigé que d'une seule manière : perpendiculairement au petit rectangle, autrement dit, il viendra de l'axe de rotation et se dirigera perpendiculairement de manière à traverser la surface du petit rectangle par son milieu.

Si tu as compris ça, tu as déjà fait un grand pas.

Pour ce qui est des coordonnées sphérique.

C'est à peu près pareil. Tu colles un confetti sur une orange et tu te rends tout de suite compte que le vecteur normal (et tous les vecteurs normaux) vont "sortir" du centre de l'orange se dresser tels les pics sur un hérisson, perpendiculairement à la surface.

Le cas des coordonnées polaires

Maintenant, venons-en à quelque chose d'un peu plus compliqué, mais nécessaire puisque tu as fait une erreur. Il faut donc bien t'expliquer la bonne réponse.

Reprends le cas du cercle initial, celui que je t'ai fait dessiner sur une feuille. Tu as justement dit que le vecteur normal "sortait" de la feuille.

Il faut une dimension supplémentaire, perpendiculaire. Or, en coordonnées polaires, on a que deux dimensions (si on en a 3, ce sont des coordonnées cylindriques ou sphériques). Comment imaginer la normale à une surface qui a 2 dimensions dans une espace à 2 dimensions ? Ben, c'est pas possible.

Par contre, reprend l'exemple du cercle sur la feuille. C'est un objet à "une" dimension (d'une certaine manière), et la, miracle, il y a des normales. Elles passent par le centre du cercle et ce sont simplement les rayons qui viennent du centre et qui traversent le cercle ... perpendiculairement ... à celui-ci.

En conclusion, une normale, a toujours besoin d'une dimension en plus que l'objet considéré :
Une courbe dans un plan à une normale,
Une surface dans un volume à une normale.

Un volume n'a pas de normale (ses surfaces, oui) dans un espace à 3 dimensions. Il faut y adjoindre une 4ème (enfin, je suppose

[inviteb49dfe16]

OK, merci pour vos réponses à tous, je crois que j'ai compris!
La bise.