Recouvrement

**Gumus07** · 05/04/2016, 14h09

Bonjour,
j'aurai besoin de votre aide pour la compréhension de la chose suivante:
"Si on prend un ouvert $\text{[math]}$ de l'ensemble des réels $\text{[math]}$ alors on peut choisir un recouvrement ouvert $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ tel que chaque $\text{[math]}$ est un compact de $\text{[math]}$ et soit $\text{[math]}$ une famille de fonctions $\text{[math]}$ à support compact, avec $\text{[math]}$ au voisinage de $\text{[math]}$ ."
J'ai lu cela dans un livre et j'ai pas compris, quel est le théorème qui me donne ce résulat, et est ce que c'est valable pour tout ensemble ouvert de $\text{[math]}$ .
Merci.
Cordialement.

**gg0** · 05/04/2016, 14h40

Bonjour.

Cela vient du fait que dans R, chaque nombre a un voisinage compact : [x-1;x+1] est un voisinage de x, et comme c'est un fermé borné, c'est un compact.
Attention, à priori, il y a une infinité d'éléments dans le recouvrement.

Cordialement.

**Gumus07** · 05/04/2016, 14h59

Bonjour, merci pour votre réponse.
donc ce recouvrement sera l'ensemble des voisinages de chaque point de l'ensemble A?

Cordialement

**gg0** · 05/04/2016, 15h03

Pas nécessairement, mais celui-ci en est un. Comme je n'ai pas le contexte de ton texte, difficile de savoir, mais si l'ouvert est A=]a,b[, un seul ouvert suffit (]a,b[).

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Gumus07** · 05/04/2016, 15h08

Si je prends par exemple $\text{[math]}$ , je peux trouver un recouvrement ?

**gg0** · 05/04/2016, 16h06

Oui.

En plus ce celui des ]x-1;x+1[ pour tout x>0, qui a une infinité non dénombrable d'éléments, tu peux en prendre un dénombrable, en oubliant pas de recouvrir tout (]n,n+1[ ne convient pas), par exemple ]n-0,1;n+1[ pour tout entier naturel n.

Cordialement.

NB : Tu aurais pu trouver seul, ce n'est pas très difficile.

**Schrodies-cat** · 05/04/2016, 16h10

Envoyé par Gumus07

Bonjour,
j'aurai besoin de votre aide pour la compréhension de la chose suivante:
"Si on prend un ouvert $\text{[math]}$ de l'ensemble des réels $\text{[math]}$ alors on peut choisir un recouvrement ouvert $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ tel que chaque $\text{[math]}$ est un compact de $\text{[math]}$ et soit $\text{[math]}$ une famille de fonctions $\text{[math]}$ à support compact, avec $\text{[math]}$ au voisinage de $\text{[math]}$ ."
J'ai lu cela dans un livre et j'ai pas compris, quel est le théorème qui me donne ce résulat, et est ce que c'est valable pour tout ensemble ouvert de $\text{[math]}$ .
Merci.
Cordialement.

Il me semble que ce n'est pas un "résultat", mais une hypothèse de quelque chose qui devrait logiquement suivre.
Ou le résultat qui vous gène est-il ceci:
"Si on prend un ouvert $\text{[math]}$ de l'ensemble des réels $\text{[math]}$ alors on peut choisir un recouvrement ouvert $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ tel que chaque $\text{[math]}$ est un compact de $\text{[math]}$ "

**Schrodies-cat** · 05/04/2016, 16h14

Ceci étant dit:

Envoyé par gg0

Pas nécessairement, mais celui-ci en est un. Comme je n'ai pas le contexte de ton texte, difficile de savoir, mais si l'ouvert est A=]a,b[, un seul ouvert suffit (]a,b[).

Cela ne marche pas !
La fermeture de ]a,b[ dans A est tout simplement ]a,b[, qui n'est pas compact.

Ceci dit, voir d'abord ce qui se passe dans le cas d'un intervalle ouvert est sans doute une bonne idée.

**Schrodies-cat** · 05/04/2016, 16h20

Aujourd'hui, je suis d'une humeur généreuse:
Quelle est la fermeture dans ]a,b[ d'un intervalle ]x,y[ avec x>a et y < b ?

**Tryss2** · 05/04/2016, 16h22

Envoyé par Gumus07

Si je prends par exemple $\text{[math]}$ , je peux trouver un recouvrement ?

Vu qu'il est pas ouvert, ça ne rentre pas dans les hypothèses de ton théorème.

Le point délicat, c'est qu'il vaut que chaque $\text{[math]}$ soit contenu dans un compact $\text{[math]}$ avec une distance entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ strictement positive (on note parfois $\text{[math]}$ )

Supposons maintenant que tu ai voulu dire $\text{[math]}$

Pour la partie à l'infini, pas de problème, on peut recouvrir par des $\text{[math]}$ et le $\text{[math]}$ correspondant, ça peut être $\text{[math]}$

Maintenant, on ne peut pas prendre ]0,2[ pour finir de recouvrir ton A. En effet, il n'existe pas de compact K inclus dans A qui contienne ]0,2[ (y'a un problème au bord).

Donc il va falloir prendre une infinité d'intervalles qui vont s'approcher petit à petit du bord, mais en restant toujours à distance :

$\text{[math]}$ convient, avec $\text{[math]}$

Maintenant pour les ouverts quelconque, il suffit de savoir qu'un ouvert de R est une union dénombrable et disjointe d'intervalles ouverts, de recouvrir chaque intervalle de la forme ]a,b[ comme on vient de faire à la fin, et les intervalles ]a,+oo[ et ]-oo,b[ comme on vient aussi de faire (tout ceci, si il y en a)

**gg0** · 05/04/2016, 16h23

Effectivement, j'avais raté "compact de A".

La construction est alors plus compliquée, et nécessite une infinité de compacts pour ]a,b[.

Cordialement.

**Gumus07** · 05/04/2016, 18h19

Envoyé par Schrodies-cat

Il me semble que ce n'est pas un "résultat", mais une hypothèse de quelque chose qui devrait logiquement suivre.Ou le résultat qui vous gène est-il ceci:"Si on prend un ouvert $\text{[math]}$ de l'ensemble des réels $\text{[math]}$ alors on peut choisir un recouvrement ouvert $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ tel que chaque $\text{[math]}$ est un compact de $\text{[math]}$ "

Bonjour,Vous avez entièrement raison, C'est ça ce qui gène :est ce que pour tout ouvert de R, on peut trouver un recouvrement et on peut trouver ces fonctions C-infini à support compact ? Cordialement

**Gumus07** · 05/04/2016, 18h39

Envoyé par Tryss2

Vu qu'il est pas ouvert, ça ne rentre pas dans les hypothèses de ton théorème.Le point délicat, c'est qu'il vaut que chaque $\text{[math]}$ soit contenu dans un compact $\text{[math]}$ avec une distance entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ strictement positive (on note parfois $\text{[math]}$ )Supposons maintenant que tu ai voulu dire $\text{[math]}$ Pour la partie à l'infini, pas de problème, on peut recouvrir par des $\text{[math]}$ et le $\text{[math]}$ correspondant, ça peut être $\text{[math]}$ Maintenant, on ne peut pas prendre ]0,2[ pour finir de recouvrir ton A. En effet, il n'existe pas de compact K inclus dans A qui contienne ]0,2[ (y'a un problème au bord).Donc il va falloir prendre une infinité d'intervalles qui vont s'approcher petit à petit du bord, mais en restant toujours à distance : $\text{[math]}$ convient, avec $\text{[math]}$ Maintenant pour les ouverts quelconque, il suffit de savoir qu'un ouvert de R est une union dénombrable et disjointe d'intervalles ouverts, de recouvrir chaque intervalle de la forme ]a,b[ comme on vient de faire à la fin, et les intervalles ]a,+oo[ et ]-oo,b[ comme on vient aussi de faire (tout ceci, si il y en a)

Merci beaucoup pour votre réponse,C'est Vrai que [0,+oo[ n'est pas un ouvert, mais est ce que je peux lui trouver un recouvrement de ce type ?

**Schrodies-cat** · 05/04/2016, 18h55

"Alors on peut" ... indique un résultat.
"Soit" ... indique une hypothèse pour ce qui doit normalement suivre.
Pour le résultat, il existe effectivement un tel recouvrement, j'ai indiqué dans ce post une idée pour y parvenir.
Je n'y ai pas répondu à votre question, je vous ai juste suggéré une idée, qu'il faudra adapter, pour y parvenir. Ne vous inquiétez pas de l'ensemble $\text{[math]}$ , vous pouvez prendre l'ensemble que vous voulez, il n'a guère d'importance, a moins qu'il n'ait été défini auparavent.

**Gumus07** · 05/04/2016, 19h17

Okkk, j'ai compris merci, je répète ma question si vous me le permettez !, peut on avoir ce résultat, i.e. le recouvrement pour [0,+oo[Cordialement.

**gg0** · 05/04/2016, 20h01

En reprenant ce que je te proposais et modifiant pour avoir des ouverts de A=[0,+oo[, on aura ce que tu veux :
$\text{[math]}$ pour tout entier naturel n.
Pour n=0; on obtient [0;1[ qui est bien un ouvert de A (pas de $\text{[math]}$ )

**Schrodies-cat** · 05/04/2016, 20h11

Envoyé par Gumus07

Okkk, j'ai compris merci, je répète ma question si vous me le permettez !, peut on avoir ce résultat, i.e. le recouvrement pour [0,+oo[Cordialement.

A=[0, +∞[ n'est pas un ouvert de R, mais cela marche quand mème.

**Schrodies-cat** · 05/04/2016, 20h50

J'ai dit une bêtise, les A_lambda sont dans A, donc puisqu'ils forment un recouvrement de A par hypothèse, A doit être un ouvert puisqu'il est une réunion d'ouverts!
Excusez moi !

**gg0** · 05/04/2016, 20h55

Euh ... dans A, A est un ouvert.

Par contre, on a laissé de côté les fonctions.

**Schrodies-cat** · 05/04/2016, 20h58

En fait, quand on dit que la fermeture de A_lambda est un compact de A, cela implique en fait qu'elle soit incluse dans A et donc que A_lambda soit inclus dans A, relisez tout ce qui précède à cette lumière !

**Schrodies-cat** · 05/04/2016, 21h02

Envoyé par gg0

Euh ... dans A, A est un ouvert.

Par contre, on a laissé de côté les fonctions.

L'hypothèse est A est un ouvert de R.
L'énoncé! toujours l'énoncé que diable !

**Gumus07** · 05/04/2016, 21h09

Envoyé par gg0

En reprenant ce que je te proposais et modifiant pour avoir des ouverts de A=[0,+oo[, on aura ce que tu veux : $\text{[math]}$ pour tout entier naturel n.Pour n=0; on obtient [0;1[ qui est bien un ouvert de A (pas de $\text{[math]}$ )

J'ai pas Compris cette notation d'intervalle ?

**gg0** · 05/04/2016, 21h13

Schrodies-cat,

avec [0,+oo[, gumus07 délaissait l'énoncé.

Gumus07 : fais un dessin si nécessaire. Regarde ce que ça donne.

**Gumus07** · 05/04/2016, 21h13

Envoyé par Schrodies-cat

L'hypothèse est A est un ouvert de R.L'énoncé! toujours l'énoncé que diable !

Non je vous ai dit, on prend A=[0,+oo[,Donc on prend pas par hypothèse A ouvert ?

**Schrodies-cat** · 06/04/2016, 15h31

J'ai un petit problème de lecture latex pour l'énoncé ( j' utiliserais donc ce dont je me souviens)
dans le cas de A ouvert pour tout x de A, il existe un e > 0 tel que ]x-e, x+e[ soit inclus dans A. (définition de A ouvert).
on a donc un recouvrement d'ouvert V_x, ou les x sont les éléments de A, de la forme ] x-e_x, x+e_x [
On notera que j'ai un recouvrement indexé par un ensemble non dénombrable et que l'air de rien j'ai utilisé l'axiome du choix, mais on peut arranger cela.
De plus il ne convient pas forcément car si on prend la fermeture [ x-e_x, x+e_x ] d'un V_x , rien ne garantit que ses extrémités x-e_x et x+e_x soient encore dans A. prenons donc les A_x définis par A_x=] x-e_x/2, x+e_x/2 [ , ça marche

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