Recouvrement
Bonjour,
j'aurai besoin de votre aide pour la compréhension de la chose suivante:
"Si on prend un ouvertde l'ensemble des réels
J'ai lu cela dans un livre et j'ai pas compris, quel est le théorème qui me donne ce résulat, et est ce que c'est valable pour tout ensemble ouvert de
Merci.
Cordialement.
Bonjour.
Cela vient du fait que dans R, chaque nombre a un voisinage compact : [x-1;x+1] est un voisinage de x, et comme c'est un fermé borné, c'est un compact.
Attention, à priori, il y a une infinité d'éléments dans le recouvrement.
Cordialement.
Bonjour, merci pour votre réponse.
donc ce recouvrement sera l'ensemble des voisinages de chaque point de l'ensemble A?
Cordialement
Pas nécessairement, mais celui-ci en est un. Comme je n'ai pas le contexte de ton texte, difficile de savoir, mais si l'ouvert est A=]a,b[, un seul ouvert suffit (]a,b[).
Si je prends par exemple
Oui.
En plus ce celui des ]x-1;x+1[ pour tout x>0, qui a une infinité non dénombrable d'éléments, tu peux en prendre un dénombrable, en oubliant pas de recouvrir tout (]n,n+1[ ne convient pas), par exemple ]n-0,1;n+1[ pour tout entier naturel n.
Cordialement.
NB : Tu aurais pu trouver seul, ce n'est pas très difficile.
Il me semble que ce n'est pas un "résultat", mais une hypothèse de quelque chose qui devrait logiquement suivre.Envoyé par Gumus07
Bonjour,
j'aurai besoin de votre aide pour la compréhension de la chose suivante:
"Si on prend un ouvert
J'ai lu cela dans un livre et j'ai pas compris, quel est le théorème qui me donne ce résulat, et est ce que c'est valable pour tout ensemble ouvert de
Merci.
Cordialement.
Ou le résultat qui vous gène est-il ceci:
"Si on prend un ouvert
Ceci étant dit:
Cela ne marche pas !
La fermeture de ]a,b[ dans A est tout simplement ]a,b[, qui n'est pas compact.
Ceci dit, voir d'abord ce qui se passe dans le cas d'un intervalle ouvert est sans doute une bonne idée.
Aujourd'hui, je suis d'une humeur généreuse:
Quelle est la fermeture dans ]a,b[ d'un intervalle ]x,y[ avec x>a et y < b ?
Vu qu'il est pas ouvert, ça ne rentre pas dans les hypothèses de ton théorème.Si je prends par exemple
Le point délicat, c'est qu'il vaut que chaque
Supposons maintenant que tu ai voulu dire
Pour la partie à l'infini, pas de problème, on peut recouvrir par des
Maintenant, on ne peut pas prendre ]0,2[ pour finir de recouvrir ton A. En effet, il n'existe pas de compact K inclus dans A qui contienne ]0,2[ (y'a un problème au bord).
Donc il va falloir prendre une infinité d'intervalles qui vont s'approcher petit à petit du bord, mais en restant toujours à distance :
Maintenant pour les ouverts quelconque, il suffit de savoir qu'un ouvert de R est une union dénombrable et disjointe d'intervalles ouverts, de recouvrir chaque intervalle de la forme ]a,b[ comme on vient de faire à la fin, et les intervalles ]a,+oo[ et ]-oo,b[ comme on vient aussi de faire (tout ceci, si il y en a)
Effectivement, j'avais raté "compact de A".
La construction est alors plus compliquée, et nécessite une infinité de compacts pour ]a,b[.
Cordialement.
Bonjour,Vous avez entièrement raison, C'est ça ce qui gène :est ce que pour tout ouvert de R, on peut trouver un recouvrement et on peut trouver ces fonctions C-infini à support compact ? CordialementIl me semble que ce n'est pas un "résultat", mais une hypothèse de quelque chose qui devrait logiquement suivre.Ou le résultat qui vous gène est-il ceci:"Si on prend un ouvert
Merci beaucoup pour votre réponse,C'est Vrai que [0,+oo[ n'est pas un ouvert, mais est ce que je peux lui trouver un recouvrement de ce type ?Vu qu'il est pas ouvert, ça ne rentre pas dans les hypothèses de ton théorème.Le point délicat, c'est qu'il vaut que chaque
"Alors on peut" ... indique un résultat.
"Soit" ... indique une hypothèse pour ce qui doit normalement suivre.
Pour le résultat, il existe effectivement un tel recouvrement, j'ai indiqué dans ce post une idée pour y parvenir.
Je n'y ai pas répondu à votre question, je vous ai juste suggéré une idée, qu'il faudra adapter, pour y parvenir. Ne vous inquiétez pas de l'ensemble
Okkk, j'ai compris merci, je répète ma question si vous me le permettez !, peut on avoir ce résultat, i.e. le recouvrement pour [0,+oo[Cordialement.
En reprenant ce que je te proposais et modifiant pour avoir des ouverts de A=[0,+oo[, on aura ce que tu veux :
Pour n=0; on obtient [0;1[ qui est bien un ouvert de A (pas de
A=[0, +∞[ n'est pas un ouvert de R, mais cela marche quand mème.
J'ai dit une bêtise, les Alambda sont dans A, donc puisqu'ils forment un recouvrement de A par hypothèse, A doit être un ouvert puisqu'il est une réunion d'ouverts!
Excusez moi !
Euh ... dans A, A est un ouvert.
Par contre, on a laissé de côté les fonctions.
En fait, quand on dit que la fermeture de Alambda est un compact de A, cela implique en fait qu'elle soit incluse dans A et donc que Alambda soit inclus dans A, relisez tout ce qui précède à cette lumière !
L'hypothèse est A est un ouvert de R.
L'énoncé! toujours l'énoncé que diable !
J'ai pas Compris cette notation d'intervalle ?En reprenant ce que je te proposais et modifiant pour avoir des ouverts de A=[0,+oo[, on aura ce que tu veux :
Schrodies-cat,
avec [0,+oo[, gumus07 délaissait l'énoncé.
Gumus07 : fais un dessin si nécessaire. Regarde ce que ça donne.
Non je vous ai dit, on prend A=[0,+oo[,Donc on prend pas par hypothèse A ouvert ?
J'ai un petit problème de lecture latex pour l'énoncé ( j' utiliserais donc ce dont je me souviens)
dans le cas de A ouvert pour tout x de A, il existe un e > 0 tel que ]x-e, x+e[ soit inclus dans A. (définition de A ouvert).
on a donc un recouvrement d'ouvert Vx, ou les x sont les éléments de A, de la forme ] x-ex, x+ex [
On notera que j'ai un recouvrement indexé par un ensemble non dénombrable et que l'air de rien j'ai utilisé l'axiome du choix, mais on peut arranger cela.
De plus il ne convient pas forcément car si on prend la fermeture [ x-ex, x+ex ] d'un Vx , rien ne garantit que ses extrémités x-ex et x+ex soient encore dans A. prenons donc les Ax définis par Ax=] x-ex/2, x+ex/2 [ , ça marche
