Dérivée partielle complexe

[invite52487760]

Salut à tous,

Soit une fonction complexe définie par : avec : .
On pose : et
On pose aussi : et
Comment calculer directement : ?

Merci d'avance pour votre aide.
-----

[theguitarist]

Salut

Où est ce que ça coince exactement?

Rappel : la dérivée partielle existe si et seulement les dérivées partielles des parties réelles et imaginaires et existent, auquel cas on a

On pose : et

Tu as donc un changement de variable qui permet de passer d'une expression de à une expression de la forme . Le but de cette manœuvre est d'exhiber les parties réelles et afin d'appliquer les formules que tu as justement écrites :

(Attention, a, b sont des complexes, pas des réels)

Quentin

[invite52487760]

Salut TheGuitarist :

Le but de ma question est de savoir si je peux tout simplement raisonner comme suit : ( Je ne sais pas si ça marche ... )

est ce que c'est faux ? et pourquoi ?

Merci d'avance.

[invite52487760]

en suivant la méthode que tu me proposes theguitarist, voici ce que je trouve :
On a : .
On a aussi : .
Mais, pourquoi, on ne peut tout simplement dériver directement par rapport à et pour obtenir comme j'ai obtenu au départ : ?
Merci d'avance.

[A voir en vidéo sur Futura]

[theguitarist]

Salut

Ah ok j'avais mal compris! Alors pour moi tu peux effectivement appréhender le calcul des dérivées partielles aussi bien avec qu'avec . Toutefois, je n'ai pas envie de te dire de bêtise, et j'espère que quelqu'un pourra confirmer ou infirmer ce point, ainsi que la suite de ce que je vais dire.

Je justifierais ça de la manière suivante : dans l'expression d'une fonction, ce qui dépend de est holomorphe, ce qui dépend de est anti-holomorphe. Ainsi, pour reprendre l'exemple d'un post plus vieux :

Soit f telle que :

On a effectivement . En effet, tout ce qui dépend de est holomorphe, donc ne dépend pas de , de même que tout ce qui dépend de est anti-holomorphe, et ne dépend donc pas de . Dans ces conditions on a bien


Par contre, ce que l'exemple met en relief (et c'est là qu'il faut être vigilant), ce sont les notions de dérivabilités. En effet, lorsqu'on s'intéresse à la dérivabilité au sens complexe d'une fonction mais qu'on travaille avec , on peut être tenté de se restreindre au fait de se demander si cette fonction est -différentiable ou non. C'est effectivement une condition nécessaire, mais pas suffisante : la dérivabilité au sens complexe exige en plus de cela que f ne dépendent que de z, soit de la partie "holomorphe". C'est d'ailleurs pour cela qu'on appelle les fonctions -dérivables holomorphes.

Au passage, il y a bien d'autres façons équivalentes d'aborder cette notion de dérivabilité au sens complexe:

-dérivable (holomorphe)-différentiable + f ne dépendant que de z -différentiable + (en écrivant la Jacobienne) -différentiable + Condition de Cauchy-Riemann -différentiable + la différentielle df est une similitude directe


Pour résumer avec ce dernier exemple :
- Le calcul des dérivées partielles s'affranchissent totalement du fait qu'on l'appréhende de manière complexe ou réelle
- f est certes -différentiable, mais comme , les conditions de Cauchy-Riemann ne sont pas respectées et f n'est pas holomorphe.

J'ai un peu dévié de la question de départ, désolé

Quentin

[invite52487760]

Salut theguitarist :

Merci pour toute précision.
Si est holomorphe, alors : , et , non ?
est ce que c'est la me^me chose pour anti-holomorphe, c'est à dire,
Si est anti-holomorphe, alors : , et , non ?

Merci d'avance.

[theguitarist]

Bonsoir,

Yes voilà , enfin si f holomorphe, on a plutôt :

- Cas général : si est différentiable, sa différentielle répond à la formule
- est holomorphe si et seulement si elle est différentiable et si . On a donc effectivement
- est anti-holomorphe si et seulement si elle est différentiable et si . On a donc effectivement

[invite52487760]

Bonsoir theguitarist :

est ce que une fonction complexe est non continue implique que n'est pas différentiable ou bien implique qu'elle n'est pas holomorphe ?

Merci d'avance.

[theguitarist]

J'ajoute juste une remarque à ce que je viens de dire : à titre de rappel, la différentiabilité est un concept local. Tacitement, l'ensemble des équations ci-dessus sont données pour un point précis, et donc ce que j'ai oublié de dire dans le message précédent, c'est qu'on ne peut parler d'holomorphie ou d'anti-holomorphie que si la différentiabilité et les conditions de Cauchy-Riemann sont vérifiées en tous les points.

[theguitarist]

Oui, tout à fait :

Si f est différentiable en un point a :


donc en se servant de la majoration par la norme subordonnée, on peut dire que et donc que , autrement dit, est continue en a.

Cette brève démo montre que la différentiabilité en a implique la continuité en ce point, et bien sûr comme la différentiabilité est une condition nécessaire à l'holomorphie, l'holomorphie implique la différentiabilité. En somme : Holomorphie différentiabilité continuité.

Par contraposée, si n'est pas continue en un point, elle ne peut être différentiable en ce point, et encore moins holomorphe

Quentin

[invite52487760]

Merci beaucoup theguitarist.

[invite52487760]

Salut Quentin :

Si f est différentiable en un point a :


Quentin

Pour moi, si est holomorphe sur , est différentiable en pour tout , et on a : avec : est une application : - linéaire.
si est anti-holomorphe sur , est anti-différentiable en pour tout , et on a : avec : est une application : anti- - linéaire, c'est à dire qu'elle se met sous la forme : .
Par exemple : est anti-holomorphe sur . en effet : et qui est anti - - linéaire.
est ce que c'est vrai ?

[theguitarist]

Salut,

Pour moi c'est tout bon

Quentin

[invite52487760]

Merci Quentin.
en fait, si je comprends bien, est différentiable en signifie que : est un mélange de holomorphisme et d'anti-holomorphisme, et on a : , non ? est ce que, cela signifie dans ce cas là que ne vérifie pas forcément les équations de Cauchy Riemann dans ce plus général ?
Merci d'avance.

[theguitarist]

Oui voilà ! Cela vient du fait que d'une manière générale, toute application -linéaire de se décompose de manière unique sous la forme .

est différentiable en signifie que : est un mélange de holomorphisme et d'anti-holomorphisme, et on a :

Effectivement c'est une façon de voir , si est différentiable sur U, on peut justement appliquer ce résultat à , d'où la relation.

Par contre juste, je ne connais pas la notation mais dans le doute, moi ça me donne l'impression que dans l'expression que tu donnes, une différentielle en un point est "homogène" (désolé pour l'abus de langage...) à une dérivée partielle . C'est peut être la syntaxe qui veut ça, mais je trouverais ça un peu ambigüe. Dans tous les cas, la façon la plus sûre de ne pas se tromper reste encore d'écrire

Pour ta deuxième question, oui tout à fait, dans le cas général, ce n'est pas parce que est différentiable au sens réel comme ci-dessus, qu'elle est holomorphe (i.e. qu'elle vérifie les conditions de Cauchy). La fonction définie par est en cela un bon exemple : g est -différentiable car les dérivées partielles et (ou bien les dérivées et , au choix) existent bel et bien. En revanche ce qui équivalent à dire que g n'est pas holomorphe, ou encore qu'elle ne répond pas aux conditions de Cauchy.

Quentin

[theguitarist]

EDIT du post précédent: Attention je dis que c'est une façon de voir mais c'est pas pour autant qu'il faille en déduire df(a) est une similitude! On ne peut d'ailleurs pas dire grand chose sur la somme d'une similitude directe et d'une similitude indirecte, donc dans le cas général, f n'est pas une application conforme.

[invite52487760]

Merci Quentin.
en fait, pour qui figure dans l'expression : , je sais la calculer explicitement : c'est en fait, , mais, quelle est l'expression de la partie : ? est ce que c’est : ?
Merci d'avance.

[theguitarist]

Attention, il ne faut pas confondre et

[invite52487760]

Quelle est la différence ?

[invite52487760]

Attention, il ne faut pas confondre et

Pour moi : est la dérivée suivant la direction : , et est la dérivée suivant toutes les directions , non ? Mais, tu pEux mE corrigEr mon dErniEr mEssagE avant cElui là stp ?
MErci d'avancE.