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dérivée partielle et inverse de dérivée partielles



  1. #1
    alex769

    dérivée partielle et inverse de dérivée partielles

    Bonjour,

    quelqu'un pourrait-il me donner un contre exemple infirmant la propriété suivante:
    derivee.png

    En effet dans les cas simples j'arrive même à démontrer la relation mais il me semble bien me rappeler qu'elle n'est pas toujours vraie.

    merci de votre aide

    -----


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  3. #2
    gg0

    Re : dérivée partielle et inverse de dérivée partielles

    Bonjour.

    Peux-tu préciser de qui tu parles, car tes notations sont sans signification si on n'a pas un contexte précis.

    Par exemple, si y=x², x n'est pas une fonction de y, donc le second membre n'existe même pas. De même, que veut dire l'exposant -1 ? inverse ? ou fonction réciproque ?

    Cordialement.

  4. #3
    RealmPGM4

    Re : dérivée partielle et inverse de dérivée partielles

    Salut,
    En admettant que tu parles d'inverse, prenons , alors . Aussi, notre équation de départ s'écrit . Alors, on a . Tu peux aisément voir que l'égalité que tu as donnée en pièce jointe n'est pas nécessairement respectée.
    Dernière modification par RealmPGM4 ; 25/06/2014 à 14h41.

  5. #4
    RealmPGM4

    Re : dérivée partielle et inverse de dérivée partielles

    Ceci dit, je suis d'accord avec gg0, l'énoncé n'est pas clair.

  6. #5
    Médiat

    Re : dérivée partielle et inverse de dérivée partielles

    Citation Envoyé par RealmPGM4 Voir le message
    Salut,
    En admettant que tu parles d'inverse, prenons , alors . Aussi, notre équation de départ s'écrit . Alors, on a . Tu peux aisément voir que l'égalité que tu as donnée en pièce jointe n'est pas nécessairement respectée.
    Ben si :
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    alex769

    Re : dérivée partielle et inverse de dérivée partielles

    pour les précisions:
    *y est une fonction dépendant entre autre de x
    *-1 est bien l'inverse

    @ RealmPGM4: en effet on tombe bien sur Image 2.png mais en réinjectant Image 3.png on retrouve bien l'égalité citée.

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  10. #7
    Médiat

    Re : dérivée partielle et inverse de dérivée partielles

    Bonjour alex769,

    Merci d'utiliser Latex pour les formules et non des images (plus lourdes sur le serveur)

    Médiat, pour la modération
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  11. #8
    RealmPGM4

    Re : dérivée partielle et inverse de dérivée partielles

    Hmm, c'est en effet un bon point... Alors, les autres dérivées de bases respectent aussi cette règle. Désolé!

  12. #9
    alex769

    Re : dérivée partielle et inverse de dérivée partielles

    pour revenir sur ce que gg0 disait, il est vrai que si y=x² on semble avoir un problème mais en découpant le domaine de définition de x en 2: ]-inf;0[ et ]0;+inf[ on arrive à démontrer que la formule citée dans le premier post est correct.

    Le seul problème est en 0 où l'on peut se dire que implique que l'on ne peut pas définir son inverse comme étant égale à 0.

    La seule limitation de ne serait donc qu'un problème de domaine?

  13. #10
    gg0

    Re : dérivée partielle et inverse de dérivée partielles

    En fait, Alex769,

    si (éventuellement localement) y est une fonction bijective dérivable de x : y=f(x), alors x est une fonction dérivable de y : x=g(y), où g est la réciproque de f. Et la formule que tu écris n'est que la formule habituelle pour la dérivée d'une fonction réciproque, avec éventuellement problème lorsque f' s'annule.
    Et noter ici des dérivées partielles ne sert à rien, puisque tu n'exprimes nulle part d'autre variable.

    Cordialement.
    Dernière modification par gg0 ; 25/06/2014 à 20h13.

  14. #11
    alex769

    Re : dérivée partielle et inverse de dérivée partielles

    merci de ta réponse gg0.

    en ce qui concerne les dérivées partielles, je les ai mises car je voulais justement parler de fonctions dépendant de plusieurs variables.
    Dans le cas de dérivées droites le raisonnement est direct car on peut séparer "comme on veut les termes" ce que l'on ne peut pas faire avec des dérivées partielles.

    ma question de départ suggérait donc implicitement que y=f(x,z,...) (même si je dois admettre que cela n'était pas assez clair).

    d'après ce que je comprends de ta réponse, le formule données au premier post est donc valable sur un domaine où ma fonction est bijective. Dans ce cas que se passe-t-il justement pour les fonctions de plusieurs variables à valeurs dans R (si je ne me trompe pas il n'existe pas de fonction bijective de de Rn dans R)?
    Si ton explication est exacte la solution serait située dans le fait que les dérivée partielles sont réalisées par rapport à une seule et unique variable, les autres étant gardées constantes?
    Dernière modification par alex769 ; 26/06/2014 à 11h33.

  15. #12
    gg0

    Re : dérivée partielle et inverse de dérivée partielles

    Bonsoir.

    Si ton explication est exacte la solution serait située dans le fait que les dérivée partielles sont réalisées par rapport à une seule et unique variable, les autres étant gardées constantes?
    C'est tout à fait ça. Après tout, les dérivées partielles sont des dérivées simples de fonctions d'une variable.
    Si, par exemple f est une fonction de trois variables x, y et z, alors soit pour des y et z données. Alors, par définition,

    Ou, en utilisant une notation moins liée aux variables :


    A toi de voir si j'ai bien traduit ta problématique, car suppose d'exprimer tout soit en fonction de x, soit en fonction de y (voir le message de Médiat #5)

    Cordialement.

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  17. #13
    topmath

    Re : dérivée partielle et inverse de dérivée partielles

    Bonjour :
    Citation Envoyé par alex769 Voir le message
    merci de ta réponse gg0.

    en ce qui concerne les dérivées partielles, je les ai mises car je voulais justement parler de fonctions dépendant de plusieurs variables.
    Dans le cas de dérivées droites le raisonnement est direct car on peut séparer "comme on veut les termes" ce que l'on ne peut pas faire avec des dérivées partielles.

    ma question de départ suggérait donc implicitement que y=f(x,z,...) (même si je dois admettre que cela n'était pas assez clair).

    d'après ce que je comprends de ta réponse, le formule données au premier post est donc valable sur un domaine où ma fonction est bijective. Dans ce cas que se passe-t-il justement pour les fonctions de plusieurs variables à valeurs dans R (si je ne me trompe pas il n'existe pas de fonction bijective de de Rn dans R)?
    Dans des cas plus générale on peut définir autrement Difféomorphisme .

    Cordialement

  18. #14
    Médiat

    Re : dérivée partielle et inverse de dérivée partielles

    Citation Envoyé par alex769 Voir le message
    (si je ne me trompe pas il n'existe pas de fonction bijective de de Rn dans R)?
    Si, si, sans problème
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  19. #15
    gg0

    Re : dérivée partielle et inverse de dérivée partielles

    Mais, si j'ai bien compris la question initiale, c'est g (voir mon message #12) qui doit être bijective.

    Par exemple avec y=f(x,t,z)= x²tz définie seulement pour , et pour t=2 et z=3, g(x)=f(x,2,3)=6x² est une bijection de sur , et on peut alors parler de g-1, et partant de y=g(x), exprimer x en fonction de y : (plus généralement
    Par contre, f n'est pas une bijection de sur ou .

    Cordialement.

  20. #16
    alex769

    Re : dérivée partielle et inverse de dérivée partielles

    Merci de vos réponses,

    j'y vois maintenant beaucoup plus clair sur mon problème initiale.

    Après j'avoue être un peu surpris de la dernière réponse de Médiat sur les applications bijectives de Rn dans R mais ceci est un autre sujet.

    Bonne soirée et encore merci

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