Dérivée partielles

[invite8c2ea064]

Bonjour,

je suis complétement perdu dans les dérivées partielle.

Ci joint deux exercices : le premier je suis bloqué quand il me demande de calculer les dérivées partielle secondes en (0,0) et pouvez vous me dire si pour les dérivées premières ma méthode est juste ...

Le deuxieme exo (exercice 2 petit a uniquement) je ne sais même pas par quel bout le prendre quelqu'un peut il m'aider ?

Merci à tous ! !
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[invite57a1e779]

Pour le premier exercice, ton calcul est exact.

Pour continuer, il faut te rappeler que où
Tu dois donc poser , puis calculer, si c'est possible .
Mais il faudrait connaître pour tout , et pas seulement .
L'autre dérivée partielle seconde se calcule de la même manière...

Pour le deuxième exercice, on te donne :
– (ou , je n'arrive pas bien à lire) si ;
– , c'est dommage, on ne te le donne pas !!
Donc c'est à toi de le trouver puis de continuer comme dans le premier exercice.

Il te faut donc déterminer ...

[invite8c2ea064]

Bonjour,

Merci pour tes indications je vais essayé aujourd'hui et je posterai ma réponse ce soir !

[invite8c2ea064]

Bonjour a tous ,

Alors voilà j'ai essayé de faire l'exercice 1 :

Voilà ce que je trouve . . . .

Mais j'ai eu l'impression de faire la moitié du travail : je m'explique pour la derivée seconde de f suivant x je prend une fonction qui dépende que de x comme fonction partielle ( qui est par ailleurs la dérivée première de f suivant x) et je fais x=0 ensuite pour avoir la dérivée seconde par rapport a x en (0,0) mais ce qui m'échappe ce que je ne m'occupe pas de y ici et je ne vois pas comment faire avec y sachant qu'un fonction partielle fonction de y aurait une dérivée nulle si on la dérivée suivant x

Est ce que je suis assez clair ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8c2ea064]

Et voici ce que j'ai fais pour l'exercice 2

Pour la suite de l'exo si c'est la même méthode que dans l'exercice 1

J'attend confirmation que la méthode est bonne et ça ne devrait plus me poser de problème

[invite57a1e779]

Alors voilà j'ai essayé de faire l'exercice 1 :

Mais j'ai eu l'impression de faire la moitié du travail : je m'explique pour la derivée seconde de f suivant x je prend une fonction qui dépende que de x comme fonction partielle ( qui est par ailleurs la dérivée première de f suivant x) et je fais x=0 ensuite pour avoir la dérivée seconde par rapport a x en (0,0) mais ce qui m'échappe ce que je ne m'occupe pas de y ici et je ne vois pas comment faire avec y sachant qu'un fonction partielle fonction de y aurait une dérivée nulle si on la dérivée suivant x

Ce que tu as fais est bien, il suffit de le mettre en forme. Je ne comprends pas bien ton problème.

Ta fonction de d

[invite57a1e779]

Suite du message précédent qui est parti trop vite...

Ta fonction initiale est définie par si , et .
Pour tu as calculé les dérivées partielles et tu as trouvé, entre autres .

Pour voir ce qui se passe en , tu as considéré les applications partielles :
et , égalités valables même pour .
Tu en as déduit les dérivées partielles :
et .
Le fait que les applications partielles ne dépendent pas de et de ne t'a pas gêné.

Tu fais la même chose pour les dérivées secondes. La fonction définie par :
et .

Tu as les applications partielles :
et , égalités valables même pour .
Tu en déduis les dérivées partielles :
et .

Ici est l'application partielle en , qui ne dépend pas de , et qui se trouve être constante, donc en fait indépendante de ,
alors que est l'application partielle en , qui ne dépend pas de , et qui se trouve dépendre explicitement de .

Attention, le fait que les dérivées partielles croisées soient distinctes ne prouve pas qu'elles sont discontinues : comme le demande l'énoncé, on montre que l'une des deux est discontinue, l'autre pouvant être continue, cela suffit pour que le théorème de Schwarz ne fonctionne pas...

[invite57a1e779]

Et voici ce que j'ai fais pour l'exercice 2

Pour la suite de l'exo si c'est la même méthode que dans l'exercice 1:

C'est exactement ce qu'il faut faire.

Ta fonction est définie par pour , et le calcul des dérivées partielles à tout ordre ne pose aucun problème (autre que l'écriture d'icelles...).

On veut la prolonger avec pour poursuivre comme dans le premier exo. Il faut donc déterminer la limite de en . Tu as montré que l'on avait et tu peux désormais poursuivre comme dans le premier exo.
Quand la valeur de n'est pas immédiate, il faut (au brouillon) écrire les applications partielles :
et .

La continuité des applications partielles fournit la valeur éventuelle de , ou prouve éventuellement qu'aucune valeur de ne convient.

[invite8c2ea064]

Bonjour,

Un grand merci pour vos explications c'est trés gentil à vous !

Je pense avoir bien cerné le sujet maintenant !

Cordialement