Dérivées partielles

[invitef1754d56]

Bonjour, j'aimerais votre aide pour me dire si un exercice que j'ai fait est bon car je commence les exercices sur les dérivées partielles et j'ai quelque doutes. Voila l'énoncé :

Soit f defini par (x,y) different de (0,0) f(x,y) = (sin²x+sin²y)/((x²+y²)^1/2)
Et f(0,0)=0

La question est : etudier l'existence de derivées partielles.

Alors j'ai calculer df/dx et voila mon resultat :

df/dx = [sin(2x)/((x²+y²)^1/2)] - [(sin²x+sin²y)*x/(x²+y²)^3/2]

J'ai donc |df/dx| <= (car x,y au voisinage de (0,0)) |(x^3 +xy²)/((x²+y²)^1/2)| < x*Norme2²/Norme2 = x*Norme 2

Donc tout cela tant vers 0(=df/dx(0,0) par hypothese) quand x,y tendent vrs 0 donc la derivé partielle existe. non ?
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[invitebb921944]

Bonjour.
Que veut dire "norme2" ?
Sinon, dans ton cas, tu peux dire sans problème que ta fonction est différentiable comme "composée, produit et somme de fonction différentiable à dénominateur non nul" en (x,y) différent de (0,0). Les dérivées partielles existent sans problème en ces points.

En (0,0), pour voir si ta dérivée partielle par rapport à x existe, il faut calculer :

lim [f(t,0)-f(0,0)]/t (quand t tend vers 0 et montrer qu'elle existe).

De manière plus général, en u=(x,y) :
df/dx existe si l'expression suivant admet une limite quand t tend vers 0.



Ici, c'est dans le cas ou la fonction va de R² dans R.
Pour la dérivée partielle en y, c'est la meme chose sauf qu'on remplace e1 par e2=(0,1)

[invitef1754d56]

La norme 2 pour moi est la norme euclidienne, c'est à dire Racine(x²+y²) voila tout. Mais la maniere dont tu le demontre est elle vraimnt juste ? car tu privilegie l'approche vers 0 dans une direction precise alors qu'il faut montrer que ça a un limite quelque soit la maniere de s'approcher de 0 non ?

Et sinon es tu d'accord pour dire qu'ilfaut dans tout les cas que l'on trouve qu nos limites sont égale à 0 car par hypothese df(0,0)=0, et si on trouve le contraire alors les derivée partielles n'existe pas en (0,0) ?

[invitebb921944]

car tu privilegie l'approche vers 0 dans une direction precise alors qu'il faut montrer que ça a un limite quelque soit la maniere de s'approcher de 0 non ?

Pour montrer que la dérivée partielle par rapport à x existe, il faut montrer que la limite existe dans la direction de x, c'est à dire dans la direction de la première variable !

Et sinon es tu d'accord pour dire qu'ilfaut dans tout les cas que l'on trouve qu nos limites sont égale à 0 car par hypothese df(0,0)=0, et si on trouve le contraire alors les derivée partielles n'existe pas en (0,0) ?

Non en fait c'est un peu subtil !
Par hypothèse, df n'est pas égal à 0 puisqu'on ne sait même si la fonction est différentiable.

On va souvent te demander de démontrer :
Est-ce que les dérivées partielles existent, sont elles continues ? En quels points la fonction est elle différentiable ? Sa différentielle est elle continue ?

Pour montrer la continuité ou non de ta fonction en (0,0), tu dois majorer sa valeur absolue par une fonction qui tend vers 0 (car le plus souvent f(0,0)=0) quand (x,y) tend vers (0,0).
Pour montrer qu'elle n'est pas continue en (0,0), tu dois trouver deux suites de R² qui tendent toutes les deux vers (0,0) quand n tend vers l'infini et qui donnent une limite différente pour f.

Par exemple ici, f est continue en (0,0) car :

qui tend vers f(0,0)=0 quand (x,y) tend vers (0,0).


Ensuite, on peut dire que la fonction admet des dérivées partielles ou même est différentiable en disant que c'est une composée de blablabla.
Ensuite, on étudie le cas où il y a un problème (les 3/4 du temps c'est (0,0) ) comme je te l'ai expliqué pour les dérivees partielles (pour l'existence de la différentielle en (0,0), c'est une autre méthode).

Puis après on peut voir si les dérivées partielles sont continues.
Si les dérivées partielles existent et son continues, alors tu peux directement dire que ta fonction est C^1.
Par contre, ce nest pas parce que les dérivées partielles existent que ta fonction est différentiable.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef1754d56]

Merci beaucoup .