métrique

[Abderhman]

Bonjour

j'essaye de comprendre géométriquement ce que ''fait" le tenseur métrique. Pour cela j'ai pris la base naturelle en dimension 2 {(1,0);(0,1)} ainsi que le vecteur ayant pour coordonné (1,1) dans cette base. La longueur de ce dernier est racine(2). Ensuite je prend une nouvelle base {(1,2);(2,1)} (divisé par racine(5) pour avoir de vecteurs unitaires). Le point (1,1) s'écrit (racine(5)/3,racine(5)/3). Jusqu'ici pas de problème mais si je veux maintenant retrouvé la longueur du vecteur (1,1) dans la nouvelle base il faut d'abord que je multiplie (racine(5)/3, racine(5)/3) par une matrice qui me donne (3/racine(5), 3/racine(5)). Je sais comment passé de (1,1) à (racine(5)/3,racine(5)/3) (matrice de passage) ainsi que comment passé de (1,1) à (3/racine(5), 3/racine(5)); (projection orthogonal) mais j'arrive pas à comprendre exactement qui est ce dernier point, vecteur.

Est-ce que lorsque l'on change de base il y a un espèce de séparation entre le point (1,1) et le vecteur (1,1)? Est-ce une question d'angle? Je n'arrive pas à voir ce qu'il se passe

Merci
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Dans la base initiale, , le vecteur a pour coordonnées (ne pas confondre le vecteur et ses coordonnées...).

Le tenseur métrique a pour composantes .

La longueur du vecteur est donnée par :

.

Lorsqu'on change de base pour , on utilise la matrice de passage .

Le vecteur a maintenant pour coordonnées .

Le tenseur métrique a maintenant pour composantes .


La longueur du vecteur est donnée par :

.

Il n'y a pas de "point (1,1)", pas de projection orthogonale, pas d'angle...