Métrique RR

[invited9422e7e]

Bonjour,

j'ai lu quelque chose sur les quadrivecteurs et la métrique de Minkowski. La démonstration des valeurs de la métrique est assez succincte et je n'arrive pas à comprendre qu'elle est donné par:



J'ai vu sur internet qu'elle peut être aussi égal à


Si on pose une base de quadrivecteurs orthonormée , sachant que

je vois pourquoi la matrice est de la forme

Mais je ne vois pas pourquoi a= -1 Je ne vois pas non plus comment on peut obtenir l'autre métrique. Je sais que ça a un lien avec le fait qu'on peut écrire soit ds²= (cdt)² -x² -y²-z² soit ds²= x²+y²+z² - (cdt)²

Merci
-----

[invite231234]

Salut !

Il n'y a rien à comprendre puisque ce sont des conventions (+++-) ou (---+), une manière de différencier la dimension du temps !

@ +

[invited9422e7e]

Salut,

moi je lis "Le choix conduit à une métrique euclidienne qui n'est pas compatible avec la relativité restreinte.Cette dernière ne peut être une théorie cohérente que si on fait le choix ". Apparemment c'est une nécessité.

Je lis aussi "Il semble naturel de ne privilégier aucun des quadrivecteurs de base pointant dans les différentes directions de l'espace, la métrique peut se traduire par " . Pour trouver ce résultat, je n'ai pas supposé l'isotropie de l'espace mais juste le fait que la base est orthonormée donc je ne vois pas pour quoi ils utilisent cette hypothèse.

Merci

[Amanuensis]

Raisonnements circulaires. La matrice d'une pseudo-métrique ou métrique exprimée dans une base orthonormée correspondante est toujours diagonale avec des coefficients diagonaux égaux à +1 ou à -1. Par définition de "orthonormée".

Le texte d'origine est accessible sur le Web ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited9422e7e]

Salut,

pourquoi -1? la norme des quadrivecteurs de l'espace est égal à 1, je ne vois pas comment elle peuvent être égal à -1 avec un simple choix de convention.

Merci

[invite60be3959]

Bonjour,

la forme de cette pseudo-métrique(on précise pseudo car la forme quadratique associée n'est pas définie positive, ni définie négative(elle peut prendre n'importe quel signe donc)) est complètement due à l'invariance de la vitesse de la lumière selon les référentiels d'inertie. C'est cette hypothèse(ou ce fait) qui modifie la structure de l'espace-temps.

[invited9422e7e]

Merci de votre réponse. Mais ça ne répond pas exactement à ma question.

"Le choix conduit à une métrique euclidienne qui n'est pas compatible avec la relativité restreinte.Cette dernière ne peut être une théorie cohérente que si on fait le choix "

Je ne comprends pas cette affirmation.

Merci

[Amanuensis]

Je ne comprends pas cette affirmation.

Hors contexte, pas facile d'être sur de l'intention de l'auteur. Il y a différentes manières d'arriver à la métrique minkowskienne, historiquement c'est venu par la transformée de Lorentz ; la pseudo-métrique en a été déduite, par Poincaré puis Minkowski. Manifestement la phrase ne correspond pas à cette approche.

[doul11]

Bonsoir,

Je ne comprends pas cette affirmation.

C'est physique : une géométrie Euclidienne ne modélise pas correctement l'espace-temps.

[invited9422e7e]

C'est le choix qu'on fait sur les composants qui me pose problème.

[invited9422e7e]

bonsoir,

C'est physique : une géométrie Euclidienne ne modélise pas correctement l'espace-temps.

ça c'est la partie simple de l'affirmation.En réalité, même un collégien peut comprendre ça, il faut juste savoir lire.

Ce qui me pose problème c'est le choix que l'on fait sur les composantes de la métrique.

Merci

[invitee0fcad7a]

Salut

Pour commencer je te félicite pour ta persévérance, savoir qu'une réponse ne te satisfait pas est essentiel pour construire ta propre compréhension des choses.

Mes connaissances sont encore à parfaire, mais je pense que j'ai ce qu'il te faut.

L'axiome de la relativité restreinte qui dit que la vitesse de la lumière est constante dans tout référentiel se traduite par le fait que dans tout référentiel, la sphère (en 3 D, i.e. 4 D où le temps est fixé) correspondant au front d'onde un rayon est donnée par l'équation:
c^2 t^2 - x^2 -y^2 -z^2 =0

L'arbitraire de la convention vient du fait que t'as la même équation en multipliant par -1... c a bien l'interprétation de vitesse.

Un lemme nous dit que les transformation (t,x,y,z) -> (t^',x^',y^',z^') qui conservent l'équation sont les tranformation de Lorentz (c'est très fort parce qu'au départ on considère n'importe quelle transformation, et que finalement on a une transformation linéaire. De plus les transformation de Lorentz ne conservent pas que la sphère, mais elles conservent la pseudo distance)

La distance est donnée par une pseudo-métrique: mathématiquement c'est une forme bilinéaire (ex: un produit scalaire) non denégérée (ex: produit scalaire aussi):
g(X,Y)= g_{\mu\nu}X^{\mu}Y^{\nu}.
(convention de sommation sur les indices répétées. X^{\mu} est la composante \mu du quadrivecteur)

(Tu remarques que l'équation de la sphère c'est g(X,X)=0. En fait en 4D, c'est un cône, mais si tu fixe un temps, c'est une sphère 3D.)

Les transformation de Lorentz \Lambda préservent ce pseudo produit scalaire: \forall X,Y 4-vecteur
g_{\rho\sigma} (\Lambda_{\rho}_{\mu}X^{\mu}) (\Lambda_{\sigma}_{\nu}Y^{\nu} ) = g_{\mu\nu}X^{\mu}Y^{\nu}

Comme c'est vrai pour tout X et Y on a l'égalité "g\Lambda\Lambda=g". C'est l'essentiel. tu vois qu'en multipliant g par -1, ça reste conservé par les transformation de Lorentz.

Noix010

[invitee0fcad7a]

euh...
la métrique diag(+---) donne une distance qui correspond naivement à
(distance parcourru par qqch (qui va à la vitesse c) en un temps t )^2- (distance)^2

En fait on peut multiplier par n'importe quel nombre non nul. On choisira ensuite une base "orthonormée dans le sens
g(e_{\rho},e_{\sigma})=g_{\mu\ nu} (e_{\rho}^{\mu}) (e_{\sigma}^{\nu})= g_{\rho\sigma}

(bien comprendre que quand on met plein d'indice, ce sont des composantes, ie, des nombre. Le membre de gauche signifie une forme bilinéaire qui prend deux vecteur, alors qu'au milieu, c'est la composante \mu du vecteur e_{\rho}...

[invited9422e7e]

Bonjour,

vous avez montré que les deux pseudo-métriques choisies par convention sont conservées par les transformations de Lorentz donc cela résout un peu mon problème.

Les transformation de Lorentz \Lambda préservent ce pseudo produit scalaire: \forall X,Y 4-vecteur
g_{\rho\sigma} (\Lambda_{\rho}_{\mu}X^{\mu}) (\Lambda_{\sigma}_{\nu}Y^{\nu} ) = g_{\mu\nu}X^{\mu}Y^{\nu}

Comme c'est vrai pour tout X et Y on a l'égalité "g\Lambda\Lambda=g". C'est l'essentiel. tu vois qu'en multipliant g par -1, ça reste conservé par les transformation de Lorentz.

L'égalité n'est pas plutôt celle-ci ? avec la transposée de
Je me trompe peut-être.

Je n'ai peut-être pas compris entièrement votre message mais je n'arrive toujours pas à expliquer pourquoi on est obligé d'avoir

Tout ce que je sais, c'est qu'on pose
Mais est-ce suffisant?

Merci

[mtheory]

Bonjour,

j'ai lu quelque chose sur les quadrivecteurs et la métrique de Minkowski. La démonstration des valeurs de la métrique est assez succincte et je n'arrive pas à comprendre qu'elle est donné par:



J'ai vu sur internet qu'elle peut être aussi égal à


Si on pose une base de quadrivecteurs orthonormée , sachant que

je vois pourquoi la matrice est de la forme

Mais je ne vois pas pourquoi a= -1 Je ne vois pas non plus comment on peut obtenir l'autre métrique. Je sais que ça a un lien avec le fait qu'on peut écrire soit ds²= (cdt)² -x² -y²-z² soit ds²= x²+y²+z² - (cdt)²

Merci

Bonjour, j'ai du mal à comprendre que vous ne compreniez pas. Visiblement vous avez tenter de comprendre la RR alors qu'il vous manquait des bases mathématiques.
Je vais essayer de vous expliquer.
D'abord, vous ne devez pas croire qu'un produit scalaire de vecteur c'est toujours de la forme et c'est justement parce que l'on veut pouvoir faire un produit scalaire qui donne automatiquement , un intervalle de distance dans l'espace-temps, que l'on introduit un nouveau produit scalaire en changeant la métrique. Plus généralement, on peut changer de géométrie en changeant la définition du produit scalaire entre deux vecteurs avec .
Parfois, ce produit scalaire n'indique pas un changement de géométrie mais un simplement changement de système de coordonnées.
Dans l'espace-temps de Minkowski, la norme d'un quadrivecteur peut être négative parce qu'on est justement plus en géométrie euclidienne avec un produit scalaire classique.
Une précision, l'intervalle d'espace-temps doit être un invariant parce qu'il correspond à l'exigence fondatrice de la RR, une sphère de lumière doit rester une sphère de lumière se propageant à la même vitesse dans tous les référentiels.

[invitee0fcad7a]

le début de mon premier message est le plus important: équation de la sphère de rayon ct

Ensuite oui la première matrice est transposée, mais ce sont les subtilités des notations\Lambda^{\mu}_{\nu}: fait gaffe à quel indice est sommé, le premier ou le deuxième...

on pose machin ict, c'est formel, ça n'explique rien du tout. Le concept à comprendre c'est que conserver la sphère, c'est conserver une pseudo distance, et il se trouve que c'est conserver la métrique. C'est pas dans le sens habituel ou une métrique fixe la distance et cela définit la sphère.

autre remarque du même genre, c'est une fois qu'on a choisi une métrique qu'on définit ce que orthonormal signifie. (analogue de: c'est une fois qu'on définit le produit scalaire que perpendiculaire et de norme 1 signifie qqch)

Cette métrique est telle que les vecteurs de norme 0 sont sur le cone de lumière

[mach3]

La distance est donnée par une pseudo-métrique: mathématiquement c'est une forme bilinéaire (ex: un produit scalaire) non denégérée (ex: produit scalaire aussi):
g(X,Y)= g_{\mu\nu}X^{\mu}Y^{\nu}.
(convention de sommation sur les indices répétées. X^{\mu} est la composante \mu du quadrivecteur)

(Tu remarques que l'équation de la sphère c'est g(X,X)=0. En fait en 4D, c'est un cône, mais si tu fixe un temps, c'est une sphère 3D.)

Les transformation de Lorentz \Lambda préservent ce pseudo produit scalaire: \forall X,Y 4-vecteur
g_{\rho\sigma} (\Lambda_{\rho}_{\mu}X^{\mu}) (\Lambda_{\sigma}_{\nu}Y^{\nu} ) = g_{\mu\nu}X^{\mu}Y^{\nu}

c'est quand même dommage de maitriser le LaTeX mais d'oublier de mettre les balises [TEX]...

ça aurait donné ça:

La distance est donnée par une pseudo-métrique: mathématiquement c'est une forme bilinéaire (ex: un produit scalaire) non denégérée (ex: produit scalaire aussi):
.
(convention de sommation sur les indices répétées. est la composante du quadrivecteur)

(Tu remarques que l'équation de la sphère c'est g(X,X)=0. En fait en 4D, c'est un cône, mais si tu fixe un temps, c'est une sphère 3D.)

Les transformation de Lorentz préservent ce pseudo produit scalaire:

m@ch3

[invite60be3959]

(Tu remarques que l'équation de la sphère c'est g(X,X)=0. En fait en 4D, c'est un cône, mais si tu fixe un temps, c'est une sphère 3D.)

Une sphère 2D tu veux dire, car une sphère 3D est forcément plongée dans un espace 4D. Dans l'espace de Minkowski, la surface définie par g(x,x)=0 est un cône au sens d'un cône isotrope, qui généralise la surface 2D usuelle dont les génératrices se coupent en un même point. Pour aller plus loin, toute droite du genre temps est un axe de symétrie du cône, car l'angle hyperbolique entre cette droite et une génératrice du cône est toujours infini. Par analogie avec la sphère dont toute droite qui passe par le centre est un axe de symétrie, on parle alors de pseudo-sphère.

[invited9422e7e]

Bonsoir,
merci pour vos réponses. J'ai relu le cours avec vos remarques et je pense avoir plus ou moins compris (avec peu de recul bien sûr).

Pouvez-vous me dire si le raisonnement suivant prouve que j'ai compris le problème?

On prend une base de quadrivecteurs.
La métrique de Minkowski est .

L'isotropie de l'espace implique que .
En posant une base orthogonale, on a une matrice diagonale. On la prend aussi orthonormée, on a alors
Sachant que la base est orthonormale, on a

On suppose que c'est égal à 1. Si on reprend l'équation du front d'onde de la sphère, on note le quadrivecteur position de l'évènement "un photon de la sphère à un instant t"
On prend alors le carré de la pseudo-norme de ce quadrivecteur qui donne donc
Or, ce quadrivecteur est de genre "lumière" donc , ce qui contredit l'équation . Donc forcément .

Est-ce juste?

Merci

[invitee0fcad7a]

Merci pour la balise tex, je connaissais pas...

Oui sphère "2D" dans le sens que c'est une surface.

Il semble que tu ai saisi, mais si tu veux être rigoureux "orthonormé" est défini une fois qu'on a une métrique. et bien sur comme ce qu'on a n'est pas un produit scalaire, orthonormé n'a pas la signification d'orthonormé pour le produit scalaire habituel.

dernière égalité [TEX]g_{00}=-1[TEX]

[invited9422e7e]

Bonsoir,

Alors si je fais la supposition .
On obtient alors [TEX]g_{11}=g_{22}=g_{33}=-g_{00[/}TEX]

Après on normalise ces bases. Mais je ne vois pas comment on peut normaliser ces quadrivecteurs de base alors qu'on a un pseudo scalaire. Comment définit-on une base orthonormé?

Merci

[invitee0fcad7a]

réponse #13

[Amanuensis]

Alors si je fais la supposition .
On obtient alors [TEX]g_{11}=g_{22}=g_{33}=-g_{00[/}TEX]

Après on normalise ces bases. Mais je ne vois pas comment on peut normaliser ces quadrivecteurs de base alors qu'on a un pseudo scalaire. Comment définit-on une base orthonormé?

Le problème est que vous inversez le raisonnement. Vous ne pouvez pas dire que sans supposer une base particulière. Car vous ne parlez pas de la métrique, mais de ses composantes dans une certaine base. Faire l'hypothèse que la matrice représentant la (pseudo-)métrique est diagonale n'est rien d'autre que dire que vous avez choisi une base orthogonale (pour cette (pseudo-)métrique) pour donner les composantes de la (pseudo-)métrique ! Et alors il y a équivalence entre dire et "la base choisie est normée en plus d'orthogonale".

On peut définir une pseudo-métrique minkowskienne par la propriété suivante "il existe au moins une base telle que la matrice de la métrique dans cette base soit diagonale avec soit trois 1 et un -1, soit trois -1 et un 1 sur la diagonale", la base est alors automatiquement orthonormée par définition !

---

Depuis le début de la discussion votre problématique n'est pas claire, justement par que les suppositions sur la base choisie pour représenter la métrique ne sont pas exprimées.

[Pour donner une idée de justification de la métrique minkowskienne, un des points est l'hypothèse de la possibilité d'exhiber un espace propre 3D isotrope ; cela impose qu'il y a quatre valeurs propres réelles et que trois d'entre elles soient égales, et donc l'existence d'une base (composée de quadrivecteurs propres) telle que la métrique soit de la forme ds² = a dt² + b (dx²+dy²+dz²) dans cette base. Plus généralement la forme de la métrique est déduite des hypothèses d'homogénéité de l'espace-temps, de la possibilité d'exhiber des espaces 3D isotropes, de l'existence d'une "vitesse instantanée" limite, ...](1)

(1) Ce que j'ai écrit n'est pas suffisamment rigoureux, c'est pour donner l'idée...

[mach3]

Merci pour la balise tex, je connaissais pas...

[...]

dernière égalité [TEX]g_{00}=-1[TEX]

Tu y étais presque

il aurait fallu écrire /TEX dans la 2e balise

m@ch3

[azizovsky]

Bonjour , je vois qu'il y'a un mélange entre ce qui'est formel et ce qu'est physique , on a le choix entre deux écritures de la métrique , or , il y'a une qui'est en synphonie avec le reste de la physique , c'est : ds²=c²dt²-dl² qu'on peut reécrire : c²dt²=ds²+dl² sa linéarisation selon Dirac va donner cdt=a.ds + b.dl , ce qui permet d'écrire les g(u,v) en fonction des matrices de Dirac ......gamma(u).gamma(v)=g(u,v) .....

[azizovsky]

Bonjour , je vois qu'il y'a un mélange entre ce qui'est formel et ce qu'est physique , on a le choix entre deux écritures de la métrique , or , il y'a une qui'est en synphonie avec le reste de la physique , c'est : ds²=c²dt²-dl² qu'on peut reécrire : c²dt²=ds²+dl² sa linéarisation selon Dirac va donner cdt=a.ds + b.dl , ce qui permet d'écrire les g(u,v) en fonction des matrices de Dirac ......gamma(u).gamma(v)=g(u,v) .....

ceci nous permet de s'attaquer aux équations d'Einstein-Dirac sous un angle différente ....

[azizovsky]

Bonjour , je vois qu'il y'a un mélange entre ce qui'est formel et ce qu'est physique , on a le choix entre deux écritures de la métrique , or , il y'a une qui'est en synphonie avec le reste de la physique , c'est : ds²=c²dt²-dl² qu'on peut reécrire : c²dt²=ds²+dl² sa linéarisation selon Dirac va donner cdt=a.ds + b.dl , ce qui permet d'écrire les g(u,v) en fonction des matrices de Dirac ......gamma(u).gamma(v)=g(u,v) .....

directement (a-1)cdt-(a-1)b .dl=ds , avec a-1 matrice inverse ,par analogie avec la métrique de Minkowski on'a gamma²(0)=g(0,0) et gamma(u)gamma(v)=g(u,v)=( 1 si u=v ,0 dans le reste ).

[chaverondier]

J'ai lu quelque chose sur les quadrivecteurs et la métrique de Minkowski. La démonstration des valeurs de la métrique est assez succincte et je n'arrive pas à comprendre qu'elle soit donnée par:

Il me semble que la façon la plus physique d'aboutir à ce résultat, c'est de partir des principes d'invariance des lois de la physique et leur expression mathématique que sont :

• l'invariance des lois de la physique par translation spatiale (et la conservation de l'invariant associé : l'impulsion)
• l'invariance des lois de la physique par translation temporelle (et la conservation de l'invariant associé : l'énergie)
• l'invariance des lois de la physique par rotation spatiale (et la conservation de l'invariant associé : le moment cinétique)
• l'invariance des lois de la physique par changement de référentiel inertiel (et la conservation de l'intervalle ds² = c² dt² - dl², c'est à dire de la métrique de Minkowski lors d'un tel changement de référentiel modélisable par les transformations de Lorentz, des rotations hyperboliques "mélangeant" l'espace et le temps)
• l'invariance (de la plupart) des lois de la physique par symétrie P et par symétrie T.

Mathématiquement, la métrique de Minkowski est la métrique conservée par l'action du groupe de Lorentz complet (c'est à dire le groupe de Lorentz réduit augmenté par la symétrie T, la symétrie par renversement du temps et la symétrie P, la symétrie par transformation d'une main droite en une main gauche). Cette métrique, étendue à tout l'espace-temps, est en fait invariante sous action de groupe de Poincaré complet, le groupe de transformations vis à vis desquelles les lois de la physique sont invariantes selon la théorie de la Relativité Restreinte. La métrique de Minkowski permet donc de modéliser l'invariance des lois de la physique vis à vis du groupe de Poincaré, invariance qui est l'essence même de la théorie de la Relativité Restreinte.

Pour plus de détails sur ce sujet, notamment l'établissement de la métrique de Minkowski, vous pouvez vous reporter à : Electromagnétisme et Relativité, Magistère Interuniversitaire de Physique, JM RAIMOND, Laboratoire Kastler Brossel, Département de Physique, Ecole normale supérieure, http://www.phys.ens.fr/cours/notes-d...magnetisme.htm, plus particulièrement III Relativité Restreinte http://www.phys.ens.fr/cours/notes-d...relativite.pdf § 1.3.2 Intervalle. Invariance de l'intervalle.