Notation d'une différentielle.

[inviteb2cc74dc]

Bonjour.

J'ai une question concernant la notation d'une différentielle.
En mathématiques, on note la différentielle d'une fonction f en un point a df(a), ma question est : y a t-il un rapport avec le dx que nous mettons au bout d'une fonction sous une intégrale, où encore la notation "à la physicienne" d'une dérivée : df/dt par exemple.
Ensuite, il arrive parfois d'écrire en physique des choses comme dx/dt=3 donc dx=3dt. Est-ce correct, ou est-ce un manque de rigueur que l'on ne peut se permettre qu'en physique?

Merci d'avance !
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[theophrastusbombastus]

Bonjour,
je préviens d'office je ne suis pas expert en la matière mais je peux essayer d’apporter un début de reponse ! Oui il a y un rapport puisque ces différentiels sont "liées" de plusieurs facon. Mais y me semble que c'est un sujet un peu sensible des maths ces derniers temps car on peut interpréter ces quantités comme des "quantités infinitésimals" (vision des choses herité de Liebniz et Newton) et une maniere "d’étudier une limite" (vision qui a ete la plus popularisé par Cauchy et Weierstrass car rigoureux mathématiquement).

Donc votre et sont lié car votre "fonction" depend de ce que mathématiquement on devrait écrire , écrit un peu différemment et on "retrouve" .

En fait, très généralement, df est une variété différentielle ! Sans entrer dans les détails pour saisir un peu "mieux" le concept on va essayer de voir ce que ca donne avec une fonction a deux variables : on a la définition de sa différentiel comme étant donc ca "montre" comment varie la fonction f pour un petit deplacement en x (noté dx) et un petit deplacement en t (noté dy).
(toute les differentiels ne sont pas "exact". Il arrive que pour il n'exsite pas de dans ce cas on note simplement )

Pour en revenir a votre question ce que vous appeler "le petit dx au bout de l’intégrale" viens justement de l’intégration de ces différentiels. Par exemple on a donc donc . La vaudrait me relayer pour des explications plus clairs j'ai pas envie de dire trop de connerie (et depuis le debut du message je pense avoir depasse le quotat... que les mathématiciens aient pitié de moi).

Une autre maniere de voir ce dx dans l'integrale c'est voir ca au sens de Riemann. On a du vous montrer le calcul de l’intégrale comme le calcul d'une aire sous une courbe ? Avec des rectangles ? L’intégrale n'est rien de plus que la SOMME de tout les petits rectangles sous la courbe (avec l'air d'un rectangle largeur*hauteur donc un petit bout de largeur en x (dx) fois la hauteur correspondante a ce x (donc ) ce qui s'ecrit ) et l’intégrale signifie qu'on ajoute tout les petits rectangle. Vous avez deja vu ce symbole ? Eh bien l’intégrale c'est la meme chose, mais la sommation au lieu d'etre discrete (d'aller de 1 en 1) est continue (oui bon au bout d'un moment quand c'est tout petit c'est presque continue).

Pour la deuxième question ca renvois au debut du paragraphe, selon comme est considérer la différentiels c'est rigoureux ou ca ne l'est pas mais la plupart du temps on peut s'amuser a jongler a la physicienne avec tout ca sans que ca soit faux (sous couvert d'avoir saisi les nuances qui se cachent sous ces )

[invite19e61be6]

Bonjour,

le dx des intégrales dépend aussi des méthodes d'intégration que l'on utilise.
Par exemple, pour l'intégration selon Riemann les dx, dy, dz... représentaient des éléments de longueur, d'aire, de volume... en fin de compte, il s'agissait de mesure élémentaires en quelque sorte.

La théorie de la mesure et de l'intégration selon Lebesgue a donné un nouveau sens à ces dx, dy, dz qui correspondent à des mesures utilisées pour calculer des intégrales. La notion de mesure est notamment très utile pour la théorie des probabilités en généralisant les espaces probabilisables aux espaces mesurables et les espaces probabilisés aux espaces mesurés.

Si tu es intéressé par le sujet, je te conseille de trouver un poly de cours dans lequel il t'explique la construction des intégrales de Lebesgue. On ne fait plus appel à des fonctions en escaliers mais à des fonctions étagées qui donnent une finesse supplémentaire et permettent à certaines fonctions d'être intégrable selon lebesgue alors qu'elles ne le sont pas selon Riemann.

Par exemple, aussi étrange que cela puisse être on peut intégrer l'indicatrice des irrationnels sur R.

J'espère avoir pu t'aider.

shinishi

[invite47ecce17]

Bonjour,

Bonjour.

J'ai une question concernant la notation d'une différentielle.
En mathématiques, on note la différentielle d'une fonction f en un point a df(a), ma question est : y a t-il un rapport avec le dx que nous mettons au bout d'une fonction sous une intégrale, où encore la notation "à la physicienne" d'une dérivée : df/dt par exemple.

Oui, il y a un rapport, le dx est simplement la differentielle de la fonction x (en toute rigueur on devrait ecrire dx(a), mais dx(a) ne depend pas du point choisi, parce que la differentielle d'une fonction liéaire est "constante").

Ensuite, il arrive parfois d'écrire en physique des choses comme dx/dt=3 donc dx=3dt. Est-ce correct, ou est-ce un manque de rigueur que l'on ne peut se permettre qu'en physique?

Merci d'avance !

Oui, c'est correct, enfin plutot on peut le rendre correct et rigoureux. En un certain sens, dx/dt=3 n'est que le racourci de la seconde expression dx=3dt, une commodité de langage bien pratique.
Tu peux t'en convaincre de la manière suivant si V est un espace vectoriel de rang 1, et si a et b sont deux elements de V alors il existe un scalaire bien défini, noté a/b, tel que a=a/b.b (bien sur si b n'est pas nul). Il est bien défini parce que n'importe quel element non nul d'un espace de dimension 1 en est une base.
Si tu regardes l'espace des formes linéaires sur R, alors il est de dimension 1. Et si t est est la fonction identité de R dans R, alors dt(a) est un element non nul de Hom(R,R) en tout point a, qui vaut l'identité en fait, et qui est constante. Si f est une fonction differentible de R dans R, alors df(a) est une forme linéaire de R et donc il existe un scalaire bien défini, df(a)/dt(a) tel que df(a)=df(a)/dt(a) dt(a), c'est lui que l'on note df/dt(a). Il vaut bien ce que tu attends.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb2cc74dc]

Bonjour à vous 3 et merci pour vos réponses,

J'ai globalement compris ce que vous m'avez expliquer (même si je n'ai actuellement pas le temps d'étudier l'intégrale de Lebesgue ).
MiPaMa, lorsque vous dîtes que x est simplement une fonction linéaire, est-ce qu'on pourrait imaginer intégrer avec d'autres fonctions?

Je veux dire, si par exemple f est une fonction linéaire de plusieurs variables, par exemple f(x,y), pourrait-on intégrer comme ceci? ?