problème avec la notation différentielle

[hterrolle]

bonjour,

Bon ,je reviens sur le sujet de notation differentiel. Ca avance, mais doucement. Je m'enbrouille toujours un peux.

je crois que je n'arrive pas a comprendre le sens de l'action fourni par la notation. Se qui m'embrouille c'est de savoir comment interpreter cette notation lorsque je derive ou lorsque j'integre.

example :

a =dv/dt=d²x/dt² donc adt=dv=dx/dt=adt²=d²x (1°)

si at=f(t)=v=dx/dt ; a=f'(t)=dv/dt mais pour a=d²x/dt² c'est plutot une integrale.

c'est f(t).dt = F(t) = d²x/dt²

donc f'(t) = a = dv/dt ; f(t) = at = v = x/t ; F(t) = 1/2at² = d²x/dt²

se qui me choque c'est que dx=d²x dans (1°). donc le "d²" signifie qu'il y a une double integration.

Je crois que c'est la logique qui me derange :

donc d²x/dt² = a = dv/dt => d²x/dt = adt = dv se qui donne dv=d²x/dt et non pas dx/dt.

je crois que se dernier example defini exactement la ou je bloque. c'est clair que de passer de d²x/dt² =a a d²x/dt=adt il y a integration.

si j'avais integre f'(t) = a 3 fois j'aurais donc a = d3x/dt3 (juste pour example)

je pense que mon embrouille est bien representé par ces examples.

merci de votre aide pour demeler tout cela.
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[invitebb921944]

Bonjour !

si j'avais integre f'(t) = a 3 fois j'aurais donc a = d3x/dt3 (juste pour example)

Ca ne veut rien dire du tout tout ça !

Si f(t)=a, f est constante puisqu'elle ne dépend pas de t.
Si f(t)=t et que je dérive f par rapport à x, alors f'=df/dx=0 (puisqu'on dérive par rapport à la variable x et non pas t)
Si f(t)=t et que je dérive f par rapport à t, alors f'=df/dt=1

Intégrer, c'est faire le processus de dérivation à l'envers (on dirait plutôt primitiver car intégrer se dit en général pour des calculs d'aire)

Donc si f(t)=t, alors une primitive de f est F(t)=t²/2

donc d²x/dt² = a = dv/dt => d²x/dt = adt = dv se qui donne dv=d²x/dt et non pas dx/dt.

Sauf que ce n'est pas dv qui vaut dx/dt mais v.

On a :

a =dv/dt=d²x/dt² donc adt=dv=dx/dt=adt²=d²x (1°)

Bah je vois pas du tout d'où tu sors ta deuxieme égalité mais c'est faux et tu écris encore une fois que dv=dx/dt, ce qui est faux aussi !

si at=f(t)=v=dx/dt ; a=f'(t)=dv/dt mais pour a=d²x/dt² c'est plutot une integrale.

Euh ouais mais là si tu poses f(t)=at, le a ce n'est pas l'accélération mais une constante...

De manière générale, on peut par exemple te donner l'équation de la vitesse en fonction du temps. Prenons :

v(t)=5t+3

Alors a(t)=dv/dt=5
L'accélération est donc constante égale à 5 dans ce cas.

On a :

dx/dt=5t+3
dx=(5t+3)dt

On intègre et on obtient :

x=5/2*t²+3t+C (où C est une constante)

On peut donc à partir de l'équation de la position déterminer celle de la vitesse et de l'accélération etc... (il faut parfois des conditions initiales pour déterminer les ocnstantes qui apparaissent lors de l'intégration).

[hterrolle]

bonjour et merci Ganash,

Ton explication et tout ce qu'il y a de plus clair. J'ai enfin compris. C'est le v = dx/dt et non pas dv. Et c'est le terme du bas qui determine la variable a deriver ou a integrer.

Je me sens d'attaque pour oseé aller plus loin maintenant. Donc voila un probleme. j'ai une fonction at (acceleration -temps). Je voudrais ecrire la fonction ou "a" augmente de 1 toutes les deux secondes(example).

comment dois mis prendre ? est ce que c'est ce genre de probleme que l'on appel equation differentiel ?

Merci Ganash de bien vouloir m'accorder un peut de ton temps,

salutation herve

[invitebb921944]

Je me sens d'attaque pour oseé aller plus loin maintenant. Donc voila un probleme. j'ai une fonction at (acceleration -temps). Je voudrais ecrire la fonction ou "a" augmente de 1 toutes les deux secondes(example).

comment dois mis prendre ? est ce que c'est ce genre de probleme que l'on appel equation differentiel ?

Je ne comprends pas très bien et j'ai encore peur que tu confondes le a de "accélération" avec la a qui est une constante et qui multiplie le t dans ta fonction.

Si l'accélération augmente de 1 toutes les secondes, alors da/dt=1

Donc a(t) est de la forme : a(t)=t+c (où c est une constante)
On peut en déduire que la vitesse est de la forme :
v(t)=t²/2+ct+d
x(t)=1/6*t^3+c/2*t²+dt+e

(d et e sont des constantes).

Une équation différentielle, c'est une équation qui fait intervenir une fonction et ses dérivées.

Par exemple : v(t)=5.x(t)+3 est une équation différentielle, on peut l'écrire :

dx(t)/dt=5.x(t)+3
On voit bien que x et sa dérivée première sont présentes dans cette équation.

Le but étant de déterminer la (ou les) fonctions x(t) qui vérifient cette équation.

Voilà !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebb921944]

J'avais mal lu ! Si a augmente de 1 toutes les DEUX secondes, alors :

[invitec053041c]

Si l'accélération augmente de 1 toutes les secondes, alors da/dt=1

Donc a(t) est de la forme : a(t)=t+c (où c est une constante)
On peut en déduire que la vitesse est de la forme :
v(t)=t²/2+ct+d
x(t)=1/6*t^3+c/2*t²+dt+e

Bonsoir.
Evitez d'écrire cela en physique, car il n'y a rien de moins homogène et c'est peut-être ça qui vous embrouille.
Si a est une accélération, le da/dt=1 me choque un peu...Mais ça ne tient qu'à moi.

[invitec053041c]

J'avais mal lu ! Si a augmente de 1 toutes les DEUX secondes, alors :

Je préfère (désolé ça fait maniaque, mais bon j'assume).

[invitebb921944]

En quoi est-ce que ce que j'ai écrit n'est pas homogène ?

Et qu'est-ce qui nous prouve que l'accélération augmentait de 1m/s² toutes les deux secondes et pas 1cm/s² ?

[invitec053041c]

Et qu'est-ce qui nous prouve que l'accélération augmentait de 1m/s² toutes les deux secondes et pas 1cm/s² ?

Ben tu viens de te trahir toi-même . Si on ne précise pas une bonne fois pour toute quelles sont les unités utilisées,on ne peut pas deviner si l'accélération augmente chaque seconde de 1/2 1m/s² ou 1µm/s² etc...

En quoi est-ce que ce que j'ai écrit n'est pas homogène ?

Et bien:

x(t)=1/6*t^3+c/2*t²+dt+e

L=T^3+T^2+T+L

Après quand c'est un problème de maths pures, on peut ne pas se poser trop de questions (car il n'y a pas de dimensions en maths), mais vaut mieux songer à ce qu'on écrit même si c'est "toléré" en maths.

[invitebb921944]

Ben tu viens de te trahir toi-même . Si on ne précise pas une bonne fois pour toute quelles sont les unités utilisées,on ne peut pas deviner si l'accélération augmente chaque seconde de 1/2 1m/s² ou 1µm/s² etc...

Bah oui, c'est pour ça que je n'écris pas d'unité !
Il n'en a pas mis dans son post.

Et bien:

L=T^3+T^2+T+L

Une constante peut avoir une unité non ?

[invitebb921944]

Après quand c'est un problème de maths pures, on peut ne pas se poser trop de questions (car il n'y a pas de dimensions en maths), mais vaut mieux songer à ce qu'on écrit même si c'est "toléré" en maths.

Je ne suis pas du tout d'accord.
La seule raison pour laquelle on ne met pas d'unités en math, c'est parce qu'on ne précise pas d'unité dans les énoncés...

[invite4021e8ad]

oui, par exemple la vitesse de la lumière s'exprime en m/s

un nombre sans unité peut aussi avoir une unité: un angle par exemple.
mais là on est dans le spécial

[invitec053041c]

Je ne suis pas du tout d'accord.
La seule raison pour laquelle on ne met pas d'unités en math, c'est parce qu'on ne précise pas d'unité dans les énoncés...

Non, il n'y a pas de dimension quand on fait des maths pures.
Et le radian est une unité, mais un angle n'a pas de dimension, donc c'est cohérent.

[invitebb921944]

un nombre sans unité peut aussi avoir une unité: un angle par exemple.

Je ne comprends pas ce que tu veux dire.
Un angle a toujours une unité.

[invitec053041c]

Je ne comprends pas ce que tu veux dire.
Un angle a toujours une unité.

Une grandeur peut avoir une unité sans avoir une dimension.
Les angles ne réprésentent pas de dimension, pourtant ils ont une unité qui leur est propre (radian, degré, seconde d'arc etc...).


EDIT: c'est vrai que sa phrase n'avait pas de sens.

[invitebb921944]

Non, il n'y a pas de dimension quand on fait des maths pures.

Certes mais elles sont implicites les unités en math.
Le fait qu'on ne puisse pas ajouter des tomates et des carottes est aussi évident pour un mathématicien que pour un physicien.

[invitec053041c]

Certes mais elles sont implicites les unités en math.
Le fait qu'on ne puisse pas ajouter des tomates et des carottes est aussi évident pour un mathématicien que pour un physicien.

Mais si je te dis qu'il n'y a pas de dimensions en maths, c'est formidable ça.
C'est pas que c'est implicite ou pas, c'est qu'elles sont absentes.
Le fait que l'on ne puisse pas ajouter dest tomates et des carottes se traduit par 3x+4y =/= 7 ?

[invitebb921944]

Qu'entends tu par dimension ?

Le fait que l'on ne puisse pas ajouter dest tomates et des carottes se traduit par 3x+4y =/= 7 ?

Je ne comprends pas ton équation lol

[invitec053041c]

Qu'entends tu par dimension ?

La dimension est ce qui est lié à une grandeur physique (longueur, charge etc...).
En physique, on en vient souvent à adimensionner certaines grandeurs pour en faire une étude mathématique.
Par exemple poser x=T/To et y=p/po .
Après évidemment tu as les dimensions des espaces vectoriels, mais ça n'a rien à voir .

Je ne comprends pas ton équation lol

3x+4y différent de 7 je ne sais quoi (incompatibilité entre les x et les y, comme entre les carottes et les tomates).

[invitebb921944]

3x+4y différent de 7 je ne sais quoi (incompatibilité entre les x et les y, comme entre les carottes et les tomates).

Bah ouais mais je suis pas d'accord.
Peut être y a t'il une incompatibilité entre x et y mais il ne peut pas y en avoir entre 3x et 4y sans quoi cette équation n'a aucun sens.
Je comprends bien ce que tu veux dire quand tu dis qu'ils n'ont pas d'unité mais concrètement, ton équation n'a pas lieu d'être si 3x et 4y n'ont pas la meme unité.

Et bien sur, tu ne peux l'appliquer à la physique que si c'est le cas.

Et pour ce qui est de l'équation de la position écrite précédemment, elle est tout à fait homogène simplement les constantes ont des unités bien précises.

En fait je ne vois pas pourquoi ca te choque, c'est comme ca que j'ai toujours écrit et vu écrites les équations de mouvement en physique.

[invitec053041c]

En fait je ne vois pas pourquoi ca te choque, c'est comme ca que j'ai toujours écrit et vu écrites les équations de mouvement en physique.

Certainement pas. En physique les constantes sont littéralement exprimées, pas par un chiffre.
Par exemple pour l'équation du ressort:



Je me doute bien que tes constantes avaient des unités, si tu veux faire des maths ça passe, si tu veux faire de la physique tu es dans le rouge.

[invitebb921944]

Bin c'est juste que normalement, ces fameuses constantes dont je parlais on les écrit , et
M'enfin bon on peut bien les appeller comme on veut...

[invitec053041c]

Bin c'est juste que normalement, ces fameuses constantes dont je parlais on les écrit , et
M'enfin bon on peut bien les appeller comme on veut...

Oui bien-sûr, mais pas directement par des nombres .

[invitebb921944]

C'est bien pour ça que j'ai écrit des lettres.

[invitec053041c]

C'est bien pour ça que j'ai écrit des lettres.

Pas au départ, c'est pour ça que je te l'ai fait remarquer .