Bonjour
soit f:IR²=>IR² linéaire. On suppose que f!=0 et que f°f=0.
1) Montrer que f n'est pas inversible.
2) Déterminer les dimensions de Ker(f) et Im(f).
3) Montrer que Ker(f)=Im(f).
4) Montrer que id + f est inversible et que son inverse est id - f.
1) Si f inversible <=> il existe f^-1 <=> f bijectrice <=> f injective et surjective.
f injectrice <=> Ker(f)={(0,0)}
Or : Ker(f) = {(x,y)€IR²\f(x,y)=(0,0)}
et : Quelque soit (x,y)€IR² f(x,y)!=(0,0) => Il n'existe pas de (x,y)€Ker(f)
=> Ker(f) = ensemble vide => f non injective => f non bijective => f non inversible.
2) dim Ker(f) = 0.
Or : f°f = 0 <=> Im(f)CKer(f) => Im(f) = ensemble vide => dim Im(f) = 0.
3) D'après 2) : Ker(f)=Im(f)=ensemble vide.
4) Je suis bloqué là.
id + f surjectif ?
Ker(id + f) = {(x,y)€IR²\(id + f)(x,y)=(0,0)}
=> id(x,y) + f(x,y) = (0,0) => f(x,y) = -(x,y). Je remarque qu'il s'agit de l'ensemble de (x,y)€IR² tel que f soit le symétrique par rapport à (0,0), mais en existe-t-il ???... Et puis, on a supposé que f(x,y)!=(0,0) quelque soit (x,y)€IR² !!... A L'AIDE s'il vous plaît !!!!
Pour montrer que f est surjective j'ai dit :
Im(f)={(x',y')€IR²\(x',y')=(id +f)(x,y)}
=> (x',y') = (x,y) + f(x,y) => existance vérifiée => f surjective.
Quelque soit (x,y)€IR² :
(id+f)-1°(id+f)(x,y) = (x,y)
=> (id+f)-1 = (x,y)((x,y) + f(x,y))-1... hum.... hum ???
Merci de m'aider un peu partout ! Je doute aussi de 1), 2) et 3)...
-----
Envoyé par Ledescat 
. Et fof=0 serait évident. Le noyau serait tout E, l'image {0} et il n'y aurait pas grand chose d'autre à dire...