Variable aléatoire uniforme X

[invite4308cf33]

Bonjour,

Soit X une variable aléatoire de loi uniforme sur [0,1]. On note U=max(X,1-X) et V=min(X,1-X).

<< signifie ici inférieur ou égal.

Que vaut P(U << 1) et P(U << 1/2) ?
Calculer la fonction de répartition de U.
Montrer que U suit une loi uniforme que vous déterminerez.

Les réponses :
P(U<<1) = P(X<<1,1-X<<1) = P(0<<X<<1) = 1.
P(U<<1/2) = P(X<<1/2,1-X<<1/2) = P(X=1/2) = 0.
P(U<<u) = P(X<<u,1-X<<u) = P(1-u<<X<<u) = 2u-1.

Je ne comprends simplement pas le résultat final. Comment, de P(X=1/2), on passe à 0 ? Ou de P(1-u<<X<<u), on passe à 2u-1.

Ma question est peut-être stupide, mais je bosse seule, donc je viens régulièrement poser des questions sur les points que je ne comprends pas...

Merci d'avance !
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[invite4308cf33]

D'ailleurs autre petite précision que j'ai oublié de mentionner dans mon premier poste. Pour P(U<<u), on a ce résultat pour tout u dans l'intervalle [1/2,1].

Comment connait-on cet intervalle avant d'avoir trouvé 2u-1 ?

[gg0]

"Comment, de P(X=1/2), on passe à 0 ? " Comme toujours pour une variable continue. Revois la définition, c'est une conséquence immédiate.
"Ou de P(1-u<<X<<u), on passe à 2u-1." je n'en sais rien, car il manque pas mal de choses dans ton calcul.

P(X<=u)=P(max(X,1-X)<=u)=P(X<=u et 1-X<=u)=P(X<=u et X>=1-u)
Si u<0, on trouve 0 car X<=u n'est jamais réalisé. Même chose si 1-u>u (car on doit avoir 1-u<=X<=u), donc si 1>2u, c'est à dire u<1/2
Si u>1, on trouve 1 car X<=u et X>=1-u (négatif) sont toujours réalisés

Si 1/2<=u<=1, P(X<=u)=P(1-u<=X<=u)= u-(1-u)= 2 u-1 car la fonction de répartition f(u) de X est f(u)=0 sur ]-oo,0], f(u)=u sur [0;1] et f(u)=1 sur [1,+oo[; ici, 1-u et u sont entre 0 et 1.

Comme quoi, en écrivant tout, on a éclairci la situation. Et tu n'avais évidemment pas tout écrit ....

Cordialement.

[invite4308cf33]

Merci beaucoup pour cette réponse très claire. J'ai compris.

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