Dénombrement conditionnel

[jerome0]

Bonjour,

J'ai un petit soucis de compréhension sur le dénombrement. J'ai un exercice avec les corrections mais je ne comprend pas la logique utilisé pour le faire.

Il y a un sac de 12 boules. 6 rouges numérotées de 1 à 6 et 6 jaunes numérotées de 1 à 6.
1- On procède à un tirage exhaustif de 2 boules et on note:
A : On tire 2 boules de même numéro
B: On tire 2 boules de couleur différente

2- On procède à un tirage exhaustif de 4 boules et on note:
C: 2 fois 2 boules de même numéro
D: 4 boules de numéro différent
E: 1 fois et une seul 2 boules de même numéro


Calculer les probas de A,B,C,D et E.
J'ai fais déjà tout l'exercice en cours j'ai donc les corrections.
Pour A :
C'est la (combinaison de 1 parmi 6)*(1 parmi 1) / (2 parmi 12) ce qui donne 1/11
ici cela veux dire que en tirant 2 boules pari 12, je veux 1 parmi 6 et 1 parmi 1. Pour celui ci bon je comprend qu'après en avoir tiré une parmi 6 il n'en reste plus qu'une possible. Mais pourquoi on ne peut pas dire que l'on en veux 2 parmi 2 ? si on peut supposer que le "parmi 6" désigne une série de 6 numéros différents , qu'est-ce qui nous empêchent de considérer le "parmi 2" comme désignant deux boules de même numéro ?

Pour B:
Pr(B) = (1 parmi 6)² / (2 parmi 12) ce qui donne 6/11 . là aussi, ne peut on pas dire j'en veux 1 parmi 12 et une parmi 10 ? puisque si on sort le n°3 rouge on ne veut pas le n°3 jaune, alors il en reste 10 parmi les 12 valables non ?

Pour C: j'ai le même problème de raisonnement que pour B

Pour D : alors là...

(4 parmi 6)*(1 parmi 2)^4 / (6 parmi 12) . j'ai l'impression que cela n'a rien à voir avec la logique des autres. On dit qu'on en prend 4 parmi 8 mais que dans ces 4 on veux que cela soit 4 fois 1 parmi 2. pourquoi peut on mutiplier ces deux parties ? Parce que perso je comprend j'en veux 4 parmi 12 ET 4 fois (1 parmi 2)

Pouvez vous m'éclairer s'il vous plait ?

Merci beaucoup.
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[gg0]

Bonjour.

Je ne sais pas quel est le raisonnement qui a donné ce genre de "calculs", car (combinaison de 1 parmi 6) est une façon compliquée de dire 6. Et comme une combinaison de n objets parmi p correspond à un choix de n objets quand on en dispose de p, (combinaison de 1 parmi 6) est le nombre de façons de choisir un objet quand on en a 6, et on sait depuis la maternelle que c'est 6. Quant à (combinaison de 1 parmi 1) ça confine au ridicule.

Bon, prends les choses de façon simple : les tirages sont sans remise, l'ordre ne compte pas, donc l'univers qu'on peut choisir est celui des combinaisons de 2 boules prises parmi les 12. Il y a donc événements élémentaires qui sont équiprobables. Pour A, on cherche les cas favorables : Ce sont les combinaisons de 2 boules de même numéro. Or une fois le numéro choisie, on n'a plus le choix des boules, il n'y en a que deux qui ont ce numéro. Donc il y a 6 cas favorables, et la probabilité est 6/66=1/11.

Essaie de faire la suite en détaillant bien la façon de trouver tous les cas favorables, pour pouvoir facilement les compter.

Cordialement.

[jerome0]

Merci pour ces infos.

Alors pour le B : 2 boules de couleurs différentes,

Le tirage exhaustif me donne 66 événement possible et j'ai 6 cas favorables pour la première couleur et 6 pour la seconde couleur donc 36/66 = 6/11.

Pour le C : 2x2 boules de même num. Le tirage exhaustif donne 495 événement possible
les cas favorables sont le nombre de combinaisons de 2 boules parmi 6. soit 15/495 = 1/33

Pour le D: je comprend toujours pas..

Les cas favorable sont la combinaison de 4 boules parmi 6 puisque ce sont les cas où on auras un seul et unique nombre pour chaque chiffre, mais sa suffit pas apparemment il faut multiplier par (1 parmi 2)^4... qui correspond à une seul boule sur les deux portant le même numéro et ceci 4 fois. C'est là que je me tape la tête contre le mur! j'ai l'impression en lisant ça qu'on tire 4 boules et encore 4 autres.

Je ne comprend vraiment pas...

[gg0]

Pour B, plus direct : C'est l'événement contraire de A, de probabilité 1-1/11=10/11
Autrement dit tu t'es trompé.
D'ailleurs, quand tu tires simultanément deux boules, c'est quoi la "première couleur" ?
C'est effectivement délicat de traiter ici les combinaisons, donc un moyen possible est de mettre un ordre sur les deux boules, et de ne pas oublier à la fin que l'on compte deux fois les combinaisons.

Je te laisse chercher, simplement une remarque : Quand tu tires la deuxième boule, il n'y a pas 6 possibilités.

Pour C : Je ne comprends pas "les cas favorables sont le nombre de combinaisons de 2 boules parmi 6" ?? Quel rapport avec l'énoncé ? (je ne dis pas que c'est faux,)

Pour D, regarde comment tu peux obtenir tous les cas favorables. Si tu as du mal, mets un ordre, puis tiens compte du nombre de façons d'obtenir une combinaison suivant l'ordre.

[A voir en vidéo sur Futura]

[jerome0]

Pour B, ça ne peut pas être le contraire, B correspond à 2 boules de couleur différentes et A: à 2 boules de numéro identique.

Pour C, il faut deux fois 2 paires de numéro du coup si je reprend l'explication avec le A je tire simplement 2 boules parmi les 6 et il restera 2 fois une seule et unique possibilité pour avoir leur paire (sa reviens à faire * 1 *1 donc on ne le marque pas c'est bien ça ?)

Pour D, la correction est [(4 parmi 6)*(1parmi2)^4 ] / 4 parmi 12. j'ai beau cherché je ne comprend pas l’intérêt de faire (1 parmi 2)^4.. Si je tire 4 boules parmi 6, c'est fini j'ai déjà mes 4 boules de couleurs différentes non ? pourquoi préciser (d’ailleurs pourquoi ça se multiplie ?)

[gg0]

Aie, j'ai mal lu l'énoncé (j'avais un mélange numéros/couleurs dans la tête que je ne comprenais pas - tu fais la même confusion à la fin de ton message).
Par contre, je ne comprends pas ton explication : Il n'y a pas de première couleur.
Par contre, les combinaisons de 2 boules rouges sont , idem pour le jaunes, donc les combinaisons de boules de la même couleur sont au nombre de 30. Il en reste 66-30=36 de couleurs différentes.
Il y a une façon d'arriver à 6 fois 6, mais encore faut-il l'exprimer correctement. Par exemple "Une fois obtenues les 2 boules, comme l'ordre ne compte pas, on prend d'abord la rouge, qui a 6 possibilités de numéros; puis la jaune a aussi 6 possibilités de numéros. Au final, on a donc 6x6=36 façons d'obtenir une boule rouge et une boule jaune.

Pour C, si on connaît les 2 numéros, on sait quelles sont les 4 boules. Donc choisir 2 numéros (sans ordre) parmi 6 revient à choisir les 4 boules.

Pour D, même chose, sauf qu'une fois choisi les 4 numéros, on ne prend à chaque fois qu'une boule sur les 2, ce qui fait 2 fois plus de possibilités; à chaque numéro. Là aussi, le (1parmi2) complique !!

Cordialement.

NB : Un calcul donné comme "correction" n'est pas un corrigé. D'ailleurs, il arrive que le calcul soit faux !!

[jerome0]

merci je pense avoir saisi la méthode.

Mais pour le C , si on tire 4 boules, il n'y à pas 2 * 2 * 2 *2 possibilité de plus ? vu que pour chaque numéro il y a deux boules possibles ?

[gg0]

"de plus", non ! Pourquoi ?

Ce n'est pas parce que tu fais un calcul au D que tu dois faire le même au C, où la question est différente. C'est inquiétant cette réaction, ça veut dire que tu n'as pas vraiment compris ce qui est fait au C et au D.

[jerome0]

Et ben je ne comprend pas pourquoi le resultat est autant différent de celui sur la correction en fait..

Dessus j'ai 4 parmi 6 * (1 parmi 2)^4 pour les cas favorables. d'où viennent les (1 parmi 2)^4 dans ce cas ?

[gg0]

De quoi parles-tu ?

De l'événement D ? pas de problème, j'ai déjà expliqué. Il y a bien le 2^4
De l'événement C ? pas besoin de multiplier par 2, puisque si on choisit le numéro 3, on n'a plus rien à choisir pour le numéro 3, il n'y a que deux boules 3 et on les prend toutes les deux.

Bon, si tu reviens poser des questions, fais-le clairement (les dénombrements sont déjà suffisamment compliqués), en précisant de quoi tu parles et ce qui te pose problème. mais après avoir lu les explications et bien réfléchi.

[jerome0]

Oula oui autant pour moi j'ai confondu C et D sur mon dernier message ! mais du coup j'ai l'impression d'avoir compris la chose !

Merci beaucoup