Le corps des nombres p-adiques.

[invite52487760]

Bonsoir à tous,

est ce que vous pouvez svp, m'expliquer pourquoi le corps est un espace topologique totalement discontinu ?

Merci d'avance.
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[Cipad]

Bonjour,

il s'agit d'une conséquence de la propriété d'ultramétricité de la norme p-adique i.e. que pour tout ,
.

A l'aide de cette propriété, on montre que les boules fermées sont également ouvertes.
Maintenant si est un ensemble inclus à . Supposons qu'il contienne au moins deux éléments .
Soient , la boule fermée de rayon et centre et son complémentaire.
Alors et sont deux ensembles ouverts (pour la topologie induite sur ) et dont la réunion est .
Donc, n'est pas connexe.
Ainsi, les seuls sous-ensembles connexes de sont les connexes triviaux.

[invite52487760]

Bonjour,

Merci beaucoup.
Votre réponse est claire.
est ce que vous pouvez m'indiquer le programme qu'il faut suivre pour contourner le monde p - adique :
Dernièrement, je me suis mis à chercher s'il y'a des cours portant sur la géométrie différentielle et algébrique p -adique, et moteur de recherche Google me conduit directement vers l'intégration sur des variétés p-adiques, et moi, je ne peux pas aborder ce sujet là tant que je n'ai pas d'abord les bases, variétés topologiques p-adiques, variété algébrique p-adiques, ... etc. Je trouve ça nulpart. Pouvez vous m'indiquer des références très concises portant sur ce sujet ... et qui inclus aussi à la fois, les deux approches : approche de Berkovitch, approche de Tate ... etc, et leur domaine d'intersection avec la conjecture de Tate. Je voudrais avoir une cartographie qui décrit de manière exhaustif ce monde là.

Merci d'avance.

[theguitarist]

Salut

Une autre façon de s'en convaincre est de voir simplement comme le corps qui découle des fractions d'éléments de l'anneau . Ainsi, est une extension de exactement de la même manière que en est une de , et compte tenu de la définition de à partir de celle de , certaines propriétés arithmétiques et topologiques (comme la compacité et, pour le coup, la discontinuité totale) de entrainent celle(s) de .

Mais bon, j'avoue que je préfère de loin la preuve de Cipad Et puis, la raison profonde c'est en effet l'existence de la valuation p-adique et de ultramétricité de la norme qui en découle. Si quelqu'un a des références sur l'analyse p-adique, je suis preneur aussi !

Aborder ce sujet nécessite de connaitre les bases de l'algèbre (anneaux et corps) des espaces métriques et dans une moindre de mesure l'arithmétique de prépa (vu que ma démonstration s'appuie sur certains résultats tels que le lemme chinois ou les classes d'équivalence de et bien sûr les nombres premiers).

Theguitarist

[A voir en vidéo sur Futura]

[Cipad]

@chentouf:
Je ne connais pas de notion de géométrie différentielle p-adique (vu que la notion de dérivée est bien plus faible pour l'analyse p-adique, je serais étonné mais curieux de savoir que/si cela existe).
Tu voulais peut-être dire géométrie analytique. J'ai quelques références qui peuvent être utiles:
NB:Je ne suis pas un expert dans le domaine donc les références suivantes sont à prendre avec des pincettes... et je ne connais pas la conjecture de Tate donc je ne sais pas si elles peuvent t'aider dans ce cadre.

*pour la géométrie non-archimédienne, la références classique sont Non archimedean analysis de Bosch, Guentzer et Remmert
il y a aussi Rigid Analytic Geometry and Its Applications de Fresnel et van der Put

*pour les espaces de Berchovich, je connais moins. Quand je m'étais renseigné sur le sujet j'avais lu l'article de Ducros - Géométrie analytique p-adique : la théorie de Berkovich
J'avais aussi jeté un oeil sur l'article de M. Tenkin - Introduction to Berkovich analytic spaces (dispo sur arxiv).
Tu dois pouvoir trouver d'autres références dans ces articles.

Je viens aussi de trouver un cours de M Baker appelé Non-Archimedean Geometry (même si ça n'a pas l'air extrêmement bien organisé...).

@theguitarist:
Pour débuter avec l'analyse p-adique, j'aime bien le livre de Gouvea - p-adic Numbers - An Introduction, il est très accessible.
Le livre de Koblitz - p-adic number, p-adic analysis and zeta functions est très bien et donne une application intéressante : une partie de la preuve des conjectures de Weil (qui nécessite de l'analyse p-adique)
Sinon plus complet (mais plus dur), le livre de Robert - A course in p-adic analysis
(au passage, n'est pas compact mais localement compact.)