Trace et polynôme caractéristique

[invite59984d62]

Salut !

J'essaie de montrer que si, pour deux matrices complexes de taille n, on a, , alors .
En trigonalisant les deux matrices, j'obtiens que, pour tout k, avec les valeurs propres de A comptées avec leur ordre de multiplicité, et la même chose pour B.

A partir de là, je ne vois pas très bien comment procéder. J'ai essayé de montrer que les polynômes caractéristiques coïncidaient, mais ça me paraissait compliqué. J'ai aussi essayé de montrer par réccurence que tous les coefficients des deux polynômes étaient égaux, mais c'est assez lourd niveau écriture...

Quelqu'un aurait une idée ?
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[invite57a1e779]

Bonjour,

On peut s'intéresser à la somme de la série entière .

[invite59984d62]

Si on considère la somme dont vous parlez, par opérations algébriques sur les limites, et pour , étant donné qu'il y en a au moins un non nul, celle-ci vaut, sauf erreur de calcul de ma part, , par unicité des coefficients. J'ai du mal à voir comment on peut faire apparaître le polynôme caractéristique ici, si le X n'était pas en facteur des valeurs propres on aurait (peut-être) pu bricoler quelque chose, mais là...

[invite57a1e779]

Confronter l'égalité avec l'unicité de la décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle.

Il faut évidemment gérer correctement la valeur propre nulle et les ordres de multiplicité des diverses valeurs propres...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite59984d62]

J'avais effectivement pensé à une décomposition en éléments simples en voyant ça, mis à part que les pôles sont au mauvais endroit (ça on peut bricoler avec les coefficients, j'imagine, à moins que ça apparaisse naturellement), mais le plus dur est l'ordre de multiplicité des valeurs propres. Si celui-ci est supérieur à 1 (et il l'est sûrement pour quelques valeurs propres), l'allure de la décomposition en éléments simples change complètement.
Ceci, bien sûr, si on parle de la décomposition en éléments simples de ...

[invite57a1e779]

les pôles sont au mauvais endroit

Cela vient d'une idée préconçue quant à la localisation des pôles…

Pour gérer les ordres de multiplicité, il vaut mieux travailler en notant , …, les valeurs propres non nulles deux à deux distinctes et l'ordre de multiplicité de .

C'est un grand classique que de reconnaître la fraction rationelle dont la décomposition en éléments simples est :

[invite59984d62]

Je n'ai jamais eu de cours à proprement parler sur les fractions rationnelles, donc ce grand classique m'est inconnu.

Ce qui me dérange en fait, c'est que j'ai l'impression que ça correspond à la décomposition en éléments simples de l'inverse du polynôme caractéristique. Pourtant, si on fait la décomposition en éléments simples de cette fraction rationnelle, si l'ordre de multiplicité est supérieur à 1, on aurait une somme ... Peut-être que je me suis mis en tête d'arriver à un résultat qui n'est pas le bon. Mais dans tous les cas, reconnaître cette décomposition en éléments simples me paraît compliqué..

[invite57a1e779]

Si tu ne l'a jamais vu, calcule une primitive de :

Le truc, c'est qu'il faut se ramener à

[invite59984d62]

En primitivant, on obtient :

Ça ressemble presque au logarithme de l'inverse du polynôme caractéristique, a part pour le qui traîne...

[invite59984d62]

Ça serait la décomposition en éléments simples de si je ne me trompe pas (c'est de tête, je n'ai rien pour écrire à proximité) ?

[invite59984d62]

Décomposition en éléments simples de , pardon. (je n'ai pas trouvé comment éditer...)

[invite57a1e779]

En fait ce doit être avec pour transformer les facteurs du polynôme caractéristique en (en particulier les facteurs disparaissent…). Il faut reprendre les calculs en soignant les détails.

L'essentiel, c'est que, à partir des , on peut obtenir les valeurs propres non nulles de la matrice avec leurs ordres de multiplicité, donc le polynôme et ensuite le polynôme caractéristique.

[invite59984d62]

J'ai du mal à voir la relation...
Pour moi, la somme serait égale à , pourquoi est-ce que c'est faux ? (ça fait beaucoup d'incompréhension pour aujourd'hui)

Une fois qu'on a ça, c'est clair, oui !

[invite57a1e779]

Jusqu'à présent, je proposais des pistes, d'après mes souvenirs et en faisant rapidement les calculs de tête.

Je reprends correctement, en calculant dans , pour un spectre constitué de valeurs propres:



Mais la valeur finale n'a aucune importance, ce qui compte, c'est que la somme de la série formelle soit une fraction rationnelle dont on a la décomposition en éléments simples :



et l'unicité de cette décomposition assure que, si l'on a égalité des traces pour toutes les puissances de et , alors les matrices ont les mêmes valeurs propres avec les mêmes ordres de multiplicité, donc elles partagent le même polynôme caractéristique.