Deux questions sur les endomorphismes

[invite97a526b6]

Bonjour,
Voici mes deux questions. Je ne sais si elles sont pertinentes...

1. Les seules fonctions qui peuvent annuler un endomorphisme sont elles uniquement des polynômes ?
Peut-on trouver par exemple des séries entières qui annulent un endomorphisme ?
Peut-on trouver d'autres fonctions annulatrices ?

2. Peut-on définir et donner un sens à une puissance fractionnaire d'un endomorphisme ?

Merci d'avance à qui pourra m'éclairer.
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[Médiat]

Bonjour,

Peut-on trouver par exemple des séries entières qui annulent un endomorphisme ?

Je ne vois pas de problème (je ne suis pas le seul ) à donner un sens à l'exponentielle (ou toute autre série), à condition qu'elle soit convergente, l'avantage du polynôme c'est qu'il est défini pour tous les endomorphismes

2. Peut-on définir et donner un sens à une puissance fractionnaire d'un endomorphisme ?

Dans certains cas, pourquoi pas, par exemple si on a : , et , alors

[invite97a526b6]

Bonjour,


Je ne vois pas de problème (je ne suis pas le seul ) à donner un sens à l'exponentielle (ou toute autre série), à condition qu'elle soit convergente, l'avantage du polynôme c'est qu'il est défini pour tous les endomorphismes

Dans certains cas, pourquoi pas, par exemple si on a : , et , alors

Merci pour votre réponse qui m'amène à poser ces autres questions :

Peut-on dire que les seules fonctions susceptibles d'annuler un endomorphisme sont nécessairement des polynômes ou des séries entières ?

L'exemple que vous donnez g² = f suggère que seules les homothéties sont les endomorphismes qui admettent des puissances fractionnaires. Est-ce bien le cas ?

[Médiat]

Peut-on dire que les seules fonctions susceptibles d'annuler un endomorphisme sont nécessairement des polynômes ou des séries entières ?

Le problème réside dans la définition de l'opération de base (c'est la composition qui joue le rôle de la multiplication), définir une fonction par son développement en série entière est une idée naturelle (et je ne vois pas comment ne pas passer par des opérations algébriques).

L'exemple que vous donnez g² = f suggère que seules les homothéties sont les endomorphismes qui admettent des puissances fractionnaires. Est-ce bien le cas ?

Soit une base d'un ev : et l'endomorphisme défini pas et , on doit pouvoir trouver sa racine facilement

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

J'ai oublié de signaler un point qui pourrait, peut-être vous guider dans vos réflexions : toutes les séries entières (et d'autres opérations comme la racine, l'inverse etc.) que vous connaissez s'appliquent (se comprennent) très bien aux endomorphismes diagonalisables (sous conditions de convergence, de domaine ...)

[invite97a526b6]

J'ai oublié de signaler un point qui pourrait, peut-être vous guider dans vos réflexions : toutes les séries entières (et d'autres opérations comme la racine, l'inverse etc.) que vous connaissez s'appliquent (se comprennent) très bien aux endomorphismes diagonalisables (sous conditions de convergence, de domaine ...)

Merci pour cet éclairage.
Cela suggère que l'on pourrait dire que les fonctions applicables aux endomorphismes inversibles et digonalisables sont celles développables en séries de Laurent.
Je vois mal comment définir une fonction d'endomorphisme autrement que comme ça... (Encore que l'on définit bien des dérivées et primitives d'ordre quelconque...)