Séries numériques classiques

[invite4308cf33]

Bonjour.

Je dois étudier la nature des séries suivantes :

1) La série de terme général Un=1/n si n est un carré et Un=1/n² sinon.

2) Soient



Montrer que pour n assez grand, on a Un+1/Un >= Vn+1/Vn. En déduire que Un diverge.

1) Je ne comprends pas vraiment la première question ? Un=1/n si n est un carré, c'est 1/n² non ?

2) J'ai fait :



Et est une série géométrique de raison 3/4<1 donc convergente. Ainsi sa limite est nulle et on a bien un+1/un >= vn+1/vn.

Par contre pour Un la limite est 1, on ne peut rien en conclure par le critère d'Alembert...

Merci d'avance pour toute aide !
-----

[Médiat]

Bonjour,

1) La série de terme général Un=1/n si n est un carré et Un=1/n² sinon.


1) Je ne comprends pas vraiment la première question ? Un=1/n si n est un carré, c'est 1/n² non ?

1 est un carré u1 = 1
2 n'est pas un carré u2=1/4

4 est un carré u4 = 1/4

etc;

[invite4308cf33]

Ah d'accord, donc voici ce que j'ai fait :

Si n est un carré n=k²={1,4,9,16,...,k²}



Cette série converge.

n n'est pas un carré (2, 3, 5 ...) :

qui est une série convergente.

C'est bien cela ? On commence à k=2 (car 1 est un carré) ?

Sinon on peut aussi faire qui converge clairement par critère de Riemann.

Est-ce juste ?

[invite4308cf33]

Je voulais écrire

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

En gros oui (votre majoration finale est correcte), mais attention :
si k est carré les bornes ne sont pas les bonnes
si k n'est pas un carré, il manque des choses, ce n'est donc pas une égalité, mais une majoration.

Il manque une rédaction "solide"

[Médiat]

Pas de chance c'était la seule chose juste

[invite4308cf33]

Je me mélange les pinceaux lol

La majoration de mon premier poste est juste.

Pour les bornes quand n n'est pas un carré, le k=2 me parait faux faut en effet.
Je vais réessayer.

[invite4308cf33]

Oui oui ma première majoration était bien celle que je voulais écrire ^^ (je me mélange les pinceaux)

Pour k carré {k=1, 4, 9, etc} :



où n est de la forme k² (n est un carré).

Pour k non carré {k=2, 3, 5, etc} :



Donc là je me rends bien compte que ma première majoration était la bonne.

Par contre je ne vois pas comment simplifier ces deux expressions...

[Médiat]

reprenez votre message #3

Ce qui est manifestement faux c'est la borne supérieure dans le cas "k est un carré", mais cela vous donnera une majoration

Sinon dans le cas "k n'est pas carré" donc la borne k=2 n'est pas un problème, par contre votre égalité est fausse (il manque des termes)

[invite4308cf33]

Pour "k est un carré", j'aurais tendance à écrire :

, mais ça me parait un peu bizarre de mettre une racine ici.

Pour "k n'est pas un carré", doit-on rajouter 1 ?

[invite4308cf33]

Ah mais oui je vois ce qui est faux pour "k pas carré"



Je l'ai sûrement mal amené mais dans mon message #3 j'ai écrit qui compte aussi les carrés, donc j'enlève les 1/k² avec k carré, en excluant le 1.

[invite4308cf33]

A mon poste #10 je voulais écrire 1/k² et non 1/n².

Et je me rends compte que je me suis encore mélangée au niveau de la question 2 (premier poste).
J'ai parlé de série géométrique (c'est n'importe quoi...) alors que je calculais vn+1/vn, donc la limite est 1.
Du coup ça ne m'avance pas beaucoup : un+1/un et vn+1/vn ont la même limite...

[Médiat]

Je vous laisse démontrer





et

[invite4308cf33]

Merci, je comprends mieux, il s'agit de majorations ^^