Solution de xT=0 (distribution)

[invite8f6d0dd4]

Bonjour à tous.

J'aurai une toute petite question sur la méthode pour prouver xT=0 au sens des distributions.

En fait j'ai vu la démo où on pose la fonction :



Je pense l'avoir comprise sauf sur un point.

Dans cette démo on fixe pour toutes les fonctions Phi, et on fait varier psi pour trouver le Phi qu'on veut.

Mais comment peut on être sur qu'on faisant varier Psi comme on veut on peut trouver tous les Phi qu'on veut ?
xPsi(x) sera bien une fonction de D(R), mais pour moi ça n'est pas évident qu'on puisse arriver à avoir le Phi qu'on veut avec cette écriture.

Pourriez vous m'aider ?

Merci !
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[invite57a1e779]

Le noyau de la distribution de Dirac en 0 est un hyperplan de .

Si est une fonction qui n'appartient pas à cet hyperplan, c'est-à-dire si : , alors est somme directe de la droite engendrée par et du noyau de .

Toute fonction test se décompose alors de façon unique sous la forme : , avec dans et dans ; il est facile de vérifier que, dans ces conditions : .

Reste à voir que est l'ensemble des fonctions de la forme .

[invite2c458887]

Ce qui est intéressant c'est que psi est encore une fonction test. Et ça c'est vrai car tu as un lemme qui te dis que si f(x) est C(infini), et f(0)=0, alors f(x)/x est C(infini). Exemple : sin(x)/x
Du coup tu peux passer le x de l'autre coté : <T,f>=<xT, f/x>=0 par hypothèse.

Tu peux généraliser ce raisonnement avec x^(n)T=0 où cette fois des dérivées de diracs se rajoutent.

De même tu peux t'amuser à montrer que si tu as une fonction f dons les zéros sont isolés, alors l'équation fT=0 admet pour solution une somme de diracs et de dérivées de diracs au points ou f s'annule (ce sont des bons exercices).

[invite8f6d0dd4]

Parfait, merci à vous.

[A voir en vidéo sur Futura]