Planches oral Mines

[samrobot]

Bonjour j'ai quelques questions sur la résolution de plusieurs problèmes issues des oraux A vos âmes charitables

1) A un moment je dois trouver l'équivalent quand a tend vers 0 de
bien sur c'est équivalent à 2 mais est-ce bien le théorème de convergence dominée qu'il faut utiliser? en majorant par 1 l'intégrande et en disant qu'elle est continue. La fonction étant continue sur [0,Pi] il n'y a pas une justification encore plus simple pour intervertir la limite avec l'intégrale?

2)L’ensemble des suites nulles à partir d’un certain rang est-il un ouvert ?Un fermé ? C'était facile de montrer qu'il n'est pas ouvert mais comment montrer qu'il n'est pas fermé?

3) On me demande de résoudre l'équa diff en utilisant le changement de variable j'ai l'impression d'être idiot mais par exemple on a pour x positif: dt=dx/x donc

ce qui, certes nous donne une equation a coefficient constants, mais à droite je mets quoi? ? Comment trouver une solution particulière?

4)Enfin ma dernière question du jour: comment calculer proprement avec des matrices A,B complexes carrées de coté n le rang de


Je vous remercie à l'avance pour toute réponse même partielle, je suis candidat libre et c'est pas facile de travailler seul
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[Tryss2]

2)L’ensemble des suites nulles à partir d’un certain rang est-il un ouvert ?Un fermé ? C'était facile de montrer qu'il n'est pas ouvert mais comment montrer qu'il n'est pas fermé?

Dans quel ensemble? Pour quelle topologie?

[pm42]

Dans quel ensemble? Pour quelle topologie?

Si on suppose les suites dans R avec une topologie "simple", je propose : je prend une suite qui vaut 1 jusqu'à n et 0 ensuite. Je fais grimper n vers l'infini et la limite est la suite qui vaut 1 partout. J'ai donc un point de l'adhérence qui n'est pas dans l'ensemble donc il n'est pas fermé ?
(Sans garantie, c'est loin tout ça).

[God's Breath]

Bonjour,

1) Pour un oral des Mines, avec le programme actuel des classes préparatoires, le passage par la convergence dominée est le plus simple.

3) Attention, le changement de variable impose de résoudre, d'une part sur avec , d'autre part sur avec puis de raccorder, si possible…, les solutions obtenues sur ces deux intervalles.

On peut obtenir une solution particulière par la méthode de la variation des constantes.

Souvent, on pratique le changement de variable pour résoudre l'équation homogène, et on traite l'équation complète uniquement dans la variable d'origine.

4) Par manipulation de lignes : pour , on obtient équivalente à puis, par manipulation de colonnes : pour , on obtient équivalente à dont le rang est immédiat à calculer.

[A voir en vidéo sur Futura]

[samrobot]

Dans quel ensemble? Pour quelle topologie?

C'etait dans l'ensemble des suites bornées réelles. La réponse pourrait être différente si ce n'était pas le cas?

[samrobot]

Si on suppose les suites dans R avec une topologie "simple", je propose : je prend une suite qui vaut 1 jusqu'à n et 0 ensuite. Je fais grimper n vers l'infini et la limite est la suite qui vaut 1 partout. J'ai donc un point de l'adhérence qui n'est pas dans l'ensemble donc il n'est pas fermé ?
(Sans garantie, c'est loin tout ça).

Merci je pense que cela fonctionne, j'ai finalement fait quelque chose de similaire avec u(n)=1/(n+1) jusqu'à N puis 0 après qui fait bien partie de l'ensemble mais la limite non

[samrobot]

Bonjour,

1) Pour un oral des Mines, avec le programme actuel des classes préparatoires, le passage par la convergence dominée est le plus simple.

3) Attention, le changement de variable impose de résoudre, d'une part sur avec , d'autre part sur avec puis de raccorder, si possible…, les solutions obtenues sur ces deux intervalles.

On peut obtenir une solution particulière par la méthode de la variation des constantes.

Souvent, on pratique le changement de variable pour résoudre l'équation homogène, et on traite l'équation complète uniquement dans la variable d'origine.

4) Par manipulation de lignes : pour , on obtient équivalente à puis, par manipulation de colonnes : pour , on obtient équivalente à dont le rang est immédiat à calculer.

Merci beaucoup, je ne sais pas pourquoi j'avais du mal avec le rang cependant l'équation différentielle me pose plusieurs problème. Certes il faut l'étudier séparément sur R+ et R-, supposons qu'on cherche la solution sur R+:
Avec le changement de variable je trouve y''-2y'+2y=0 comme équation homogène dont la solution est f=e^t(a*cos(t)+b*sin(t)) donc si x=e^t f=x(a*cos(ln(x)) +b*sin(ln(x)))??? Cela m'étonne énormément car grâce à ma magnifique calculatrice la solution de l'équation homogène est f=a*x^2+b*x ce qui d'ailleurs fonctionne parfaitement ... Je suis un peu perdu là...

Pour ce qui est de la solution particulière j'ai cherché une solution de la forme (ax+b)cos(x) je trouve donc -x*cos(x) comme solution particulière.

C'est le changement de variable qui me trouble totalement mais j'aimerais comprendre. J'ai résolu l'équation grâce aux séries entières sans trop de problème par ailleurs...

[God's Breath]

Effectivement, l'équation différentielle homogène s'écrivant : , il est immédiat que est solution sur , ce qui permet de résoudre rapidement l'équation avec second membre.

Si le changement de variable est imposé, en travaillant d'abord sur avec : soit : , on définit une nouvelle fonction sur par : . Cette fonction a les mêmes propriétés de dérivabilité que avec, pour tout appartenant à :



donc est solution de l'équation homogène si, et seulement si, est solution de l'équation différentielle :

et non .

Du coup les solutions sont de la forme : avec deux constantes arbitraires et , et on retrouve les solutions de la forme : .

Je ne vois par aucune rechercher une solution particulière de l'équation proposée sous la forme , j'ai l'impression que c'est un chance que cela fonctionne, avec ausecond membre, cela ne fonctionne plus, me semble-t-il.

[Tryss2]

C'etait dans l'ensemble des suites bornées réelles. La réponse pourrait être différente si ce n'était pas le cas?

Oui.

Exemple triviaux :

1) L'ensemble des suites nulles à partir d'un certain rang est ouvert et fermé dans lui même (pour n'importe quelle topologie)
2) L'ensemble des suites nulles à partir d'un certain rang est ouvert et fermé dans l'ensemble des suites muni de la topologie discrète


Sinon dans ton cas, tu prends la suite d'éléments de ton ensemble définie par si et 0 sinon.

Cette suite converge pour la topologie de la norme sup vers la suite définie par qui n'est pas une suite nulle à partir d'un certain rang

[samrobot]

Effectivement, l'équation différentielle homogène s'écrivant : , il est immédiat que est solution sur , ce qui permet de résoudre rapidement l'équation avec second membre.

Si le changement de variable est imposé, en travaillant d'abord sur avec : soit : , on définit une nouvelle fonction sur par : . Cette fonction a les mêmes propriétés de dérivabilité que avec, pour tout appartenant à :



donc est solution de l'équation homogène si, et seulement si, est solution de l'équation différentielle :

et non .

Du coup les solutions sont de la forme : avec deux constantes arbitraires et , et on retrouve les solutions de la forme : .

Je ne vois par aucune rechercher une solution particulière de l'équation proposée sous la forme , j'ai l'impression que c'est un chance que cela fonctionne, avec ausecond membre, cela ne fonctionne plus, me semble-t-il.

Merci beaucoup je comprend beaucoup mieux avec la fonction z.
Pour ce qui est de la solution particulière en effet gros coup de chance on va dire que c'est de l'intuition Mais concrètement la méthode de la variation de la constante ici est-ce judicieux de partir de une matrice fondamentale en cherchant K tel que MK soit solution ou d'utiliser directement le système:


système qui me donne b'(x)=cos(x) donc b(x)=sin(x) et a'(x)=-x*cos(x) ... et je ne trouve toujours pas de solution particulière

Est ce que cet exercice est difficile ou j'ai énormément de lacunes en equa diff?

[samrobot]

Merci bien c'est très instructif. Mais je ne crois pas connaitre de topologie discrète enfin pour le moment

[God's Breath]

[…]système qui me donne b'(x)=cos(x) donc b(x)=sin(x) et a'(x)=-x*cos(x) ...

et une intégration par parties fournit .

On en déduit la solution particulière attendue :




L'exercice n'est pas difficile, l'indication du changement de variable doit servir pour ceux qui ne voient pas la solution «évidente» : de l'équation homogène.


Si on «voit» cette solution, on résout sur et en posant : , d'où :



et est solution de si, et seulement si est solution de , ce qui n'est pas trop difficile à résoudre…

[samrobot]

Merci beaucoup j'ai parfaitement compris, j'ai refait plusieurs exercices du même type. Ca me semble tout à fait faisable maintenant je reviendrai vous embêter encore un peu sur le forum mes oraux ne sont que dans une semaine et il me reste encore pas mal de boulot