Démos limites

[invite949a348a]

Bonjour,

C'est encore moi!

Je ne parviens pas à démontrer par simple retour à la définition de la limite que :
*lim 1/(n^p) (avec n entier naturel et p entier naturel différent de 0) = 0
* pour tout réel q tel que -1<q<1, lim q^n (avec n entier naturel) = 0

Bien sûr,à chaque fois, n tend vers l'infini.

Comment faire ?
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[Kairn]

La suite tend vers si .

* Avec , cela s'écrit puisque la suite est positive. Ne peux-tu pas extraire, à grand coup de racine p-ième, un entier naturel dépendant de epsilon tel que cette inégalité soit vérifiée dès qu'on le dépasse ?

* Avec : on va dire que q>0. On veut donc trouver tel que pour , . A coup cette fois de logarithme, ne peux tu pas trouver n_0 respectant cela ?

[invite949a348a]

Merci pour ta réponse Kairn.

C'est ce que j'avais fait :

1)pour n>racine pième de 1/epsilon, sans être sûr que c'était juste. Pour justifier que cet entier naturel existe (ça parait évident mais bon), je dis quoi ? Un axiome m'aiderait bien . Parce que là, j'ai pas un embryon de piste de début de démonstration^^

2) q^n<epsilon
<=> ln(q^n) < ln(epsilon) car q est >0 donc q^n aussi (ce qui rend licite d'utiliser ln), et par stricte croissance de ln (quel argument utiliser pour dire que le sens indirect est vrai ? j'ai l'impression qu'il faut que j'ajoute une inégalité large
<=>nlnq<ln(epsilon)
<=> n > ln(epsilon)/ln(q) car q est entre 0 et 1 donc on divise l'inégalité par un nombre négatif.

Finalement, en choisissant n = partie entière (ln(epsilon-q)) + 1, c'est bon.

C'est juste ou j'ai écrit beaucoup de bêtises ?

[Kairn]

1. Tu prends , où [.] désigne la partie entière. Cet entier existe et t'as pas besoin de justifier cela ^^. La partie entière est une fonction à valeurs entières, tu rajoutes un entier donc ça reste entier ^^. D'ailleurs dans le deuxième exemple tu ne justifies pas que l'entier que tu prends existe .

2. Pour justifier , dans un sens c'est la croissance de ln et dans l'autre celle de l'exponentielle. (Par ailleurs, tu n'as pas besoin de la stricte croissance, une inégalité large suffit.)
Attention, !! Mais à part ça c'est juste .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite949a348a]

Merci Kairn! J'étais à l'ouest quand j'ai écrit ça pour ln Oo!!

Je voudrais montrer proprement maintenant que la fonction inverse tend vers + infini quand x->0, x>0.

Je voudrais vraiment coller à la définition trouvée sur l'excellent site exo7 :

On dit que f a pour limite +∞ en x_0 si ∀A > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ I |x − x_0 | < δ =⇒ f (x) > A

Voilà ce que j'ai fait :

soit A > 0. si x<1/A (et un tel x existe, car R n'est pas minoré), alors Ax<1 donc 1/x >A. Comme la fonction inverse est décroissante sur ]0,+inf[, alors pour tout 0<x1 < x <1/A on a 1/x1>1/x >A.

Je sens que je ne suis pas très loin, mais en même temps je vois pas l'epsilon apparaître. J'aimerais, je le répète, être vraiment collé à la définition, en voyant tout apparaître!

Ps : pour ceux que ça intriguerait, je cherche à démontrer des résultats simples (et dont je suis convaincu!) pour maîtriser les définitions

[Kairn]

Alors, plusieurs choses :

Premier point, les lettres grecques : dans la définition que tu donnes tu as des delta, alors c'est normal de ne pas voir venir les epsilon... (je te taquine)


Deuxièmement, les maths :

soit A > 0. si x<1/A (et un tel x existe, car R n'est pas minoré)

Exact, sauf que tu te places sur puisque tu cherches à montrer . Le bon truc, c'est qu'un tel réel (strictement) positif existe parce que A est strictement supérieur à 0, donc tu peux prendre son inverse qui est non nul, et choisir un .

alors Ax<1 donc 1/x >A. Comme la fonction inverse est décroissante sur ]0,+inf[, alors pour tout 0<x1 < x <1/A on a 1/x1>1/x >A.
Je sens que je ne suis pas très loin, mais en même temps je vois pas l'epsilon apparaître.

Regarde droit dans les yeux la chose suivante : (définition avec ), et compare à ce que tu as écrit : "pour tout 0<x1 < x <1/A on a 1/x1>1/x >A" : n'as tu pas envie de prendre pour faire correspondre ces deux expressions ?


Dernièrement :

Ps : pour ceux que ça intriguerait, je cherche à démontrer des résultats simples (et dont je suis convaincu!) pour maîtriser les définitions

Excellente idée .