système d'équations non linéaires

**le fouineur** · 11/04/2006, 08h55

Bonjour à tous,

Quelqu'un aurait-t'il une idée pour résoudre le système
suivant sous sa forme générale:

x^m+y^m+z^m=a
x^n+y^n+z^n=b
x^p+y^p+z^p=c

J'ai réussi à le résoudre uniquement dans le cas ou:
m=1;n=2,p=3 en posant simplement:
x+y=t,x^2+y^2=t^2-(2*x*y) ou il faut à nouveau
poser

*y=u,il vient par conséquent:
x^2+y^2=t^2-(2*u), de la mème manière on exprime
x^3+y^3 en fonction de t et u,ce qui donne après
simplification:
x^3+y^3=t*(t^2-3*u),puis on revient à l'équation du premier degré en exprimant z en fonction de t
on a donc z=a-t De la on peut en déduire un nouveau
système qui ne comporte plus que deux inconnues:t et u
c'est:
z=a-t
t^2-(2*u)+z^2=b
t^3-(3*u*t)+z^3=c

Il suffit ensuite d'exprimer u en fonction de t en remplaçant u et z par leurs valeurs respectives dans la
deuxième équation du nouveau système, soit:
u=1/2*((a-t)^2)+1/2*(t^2)-a/2
de la pour terminer,il faut remplacer u par sa valeur
dans la troisième équation du nouveau système,on obtient alors une equation du troisième de degré qui ne comporte plus qu'une seule inconnue:t
Il suffit de reporter la valeur de t obtenue dans les
trois équations du système initial pour en déduir enfin
les valeurs de x,y et z

Si quelqu'un a une idée pour résoudre le système initial
sous sa forme générale (avec par exemple m=2,n=3 et
p=4) qu'il me réponde.Ce problème est apparu à titre
d'exercice dans le deuxième volume d' "algèbre supérieure" de Charles de Comberousse paru en 1889
et j'ai cherché pendant un an et demi (entre 1992 et
1993) avant de trouver la solution particulière que je vous ai détaillée.

Bon courage à ceux qui seraient interressé par ce
problème.

invite6b1e2c2e · 11/04/2006, 15h56

Bonjour,

En tout cas, si tu cherches des solutions x, y et z entières, tu n'en auras pas beaucoup, par le théorème de Fermat-Wiles. Et même si je ne connais pas la preuve, et que sans doute je ne pourrais pas en comprendre l'essentiel, ça ne m'étonnerait pas que ça prouve au passage que tu ne peux pas exprimer x y et z comme des fonctions algérbiques en a,b et c. Mais là, il faudrait l'avis d'un expert, pas d'un quidam comme moi.

__
rvz

**le fouineur** · 12/04/2006, 13h03

Envoyé par rvz

Bonjour,

En tout cas, si tu cherches des solutions x, y et z entières, tu n'en auras pas beaucoup, par le théorème de Fermat-Wiles. Et même si je ne connais pas la preuve, et que sans doute je ne pourrais pas en comprendre l'essentiel, ça ne m'étonnerait pas que ça prouve au passage que tu ne peux pas exprimer x y et z comme des fonctions algérbiques en a,b et c. Mais là, il faudrait l'avis d'un expert, pas d'un quidam comme moi.

__
rvz

Je vois que tu n'as pas lu ma démonstration jusqu'au bout!!

Il s'agit de l'égalité:

x^3+y^3+z^3=c et non de:

x^3+y^3=z^3 qui est impossible à satisfaire avec
x,y et z entiers.

Par exemple le système suivant admet pour solutions les
6 combinaisons possibles de x=12 , y=15 et z=21

x^1+y^1+z^1=48
x^2+y^2+z^2=810
x^3+y^3+z^3=14364

Ce système est donc tout à fait résoluble avec x,y et z
entiers.Ma question était: peut-on encore le résoudre si
les 3 équations sont:

x^2+y^2+z^2=810
x^3+y^3+z^3=14364
x^4+y^4+z^4=265842 ou encore:

x^3+y^3+z^3=14364
x^4+y^4+z^4=265842
x^5+y^5+z^5=5092308 ....C'est loin d'ètre évident et

pourtant mon bouquin (cité dans mon premier message)
affirme que:

x^n+y^n+z^n=a
x^m+y^m+z^m=b
x^p+y^p+z^p=c est parfaitement résoluble sous

cette forme générale, mais l'exercice concerné n'est pas corrigé dans ce mème livre et c'est moi qui ai trouvé une
solution particulière dans le cas ou n=1 , m=2 et z=3
J'espère avoir répondu à ta question et j'en profite pour
corriger un caractère qui est remplacé par un smiley:
li faut lire: x*y=u

invite986312212 · 12/04/2006, 13h13

au fait, je me suis posé la question suivante.
Puisqu'on sait, grâce à Wiles, que l'équation
x^n+y^n+z^n=0 n'a pas de solution en entiers,
quel est le minimum de |x^n+y^n+z^n| ?
est-ce que c'est toujours 1 quel que soit n?
ex: 9^3-8^3-6^3=1 (=1^3 d'ailleurs)

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite6b1e2c2e · 13/04/2006, 16h40

Evidemment, il y a la solution triviale (1,0,0).
Mais y a-t-il des conjectures qui en diraient un peu plus sur le minimum sur les triplets non triviaux ?

__
rvz

**le fouineur** · 13/04/2006, 19h30

Envoyé par ambrosio

au fait, je me suis posé la question suivante.
Puisqu'on sait, grâce à Wiles, que l'équation
x^n+y^n+z^n=0 n'a pas de solution en entiers,
quel est le minimum de |x^n+y^n+z^n| ?
est-ce que c'est toujours 1 quel que soit n?
ex: 9^3-8^3-6^3=1 (=1^3 d'ailleurs)

Bonjour QUOTE,

Je ne me suis pas encore posé la question que tu as évoqué,s'agit-t'il d'une valeur absolue pour:
x^n+y^n+^n ?

Sinon, quelqu'un a t'il une idée pour résoudre mon
système d'équations sous la forme générale?
Au besoin, relire le message #3

invite986312212 · 14/04/2006, 08h34

Envoyé par le fouineur

Bonjour QUOTE,

Je ne me suis pas encore posé la question que tu as évoqué,s'agit-t'il d'une valeur absolue pour:
x^n+y^n+^n ?

j'ai oublié de préciser n premier impair. Mais si tu préfères l'écriture traditionnelle, la question est: peut-on résoudre l'équation x^n+y^n = z^n +/- 1 en nombres entiers strictement positifs?
oui pour n=3 comme je l'ai indiqué. Mais en général?

**invite4793db90** · 14/04/2006, 11h35

Salut,

la méthode de Wiles et de ses prédécesseurs consiste à étudier les points rationnels sur la courbe correspondante : l'équation $\text{[math]}$ donne par exemple $\text{[math]}$ en coordonnées homogènes mais on peut aussi étudier d'autres courbes (pour le théorème de Fermat, les courbes E_ABC).

Ainsi pour les courbes elliptiques il y a des théorèmes de structure puissants (théorème de STW) mais bon c'est plutôt hard.

Pour plus d'infos, tu peux regarder la conférence de Hellegouarch ou consulter son bouquin Invitation au théorème de Fermat-Wiles.

Cordialement.

**le fouineur** · 14/04/2006, 13h00

Envoyé par martini_bird

Salut,

la méthode de Wiles et de ses prédécesseurs consiste à étudier les points rationnels sur la courbe correspondante : l'équation $\text{[math]}$ donne par exemple $\text{[math]}$ en coordonnées homogènes mais on peut aussi étudier d'autres courbes (pour le théorème de Fermat, les courbes E_ABC).

Ainsi pour les courbes elliptiques il y a des théorèmes de structure puissants (théorème de STW) mais bon c'est plutôt hard.

Pour plus d'infos, tu peux regarder la conférence de Hellegouarch ou consulter son bouquin Invitation au théorème de Fermat-Wiles.

Cordialement.

Très bien martini_bird,

Mais Aurais-tu une petite idèe sur le problème posé à
l' origine ? (messages #1 et #3).Toute contribution
pourra m' ètre utile vu que je suis bloqué depuis 1993.
Mais depuis 1993, je ne me suis pas repenché sur ce
problème.Si tu vois une impossibilité chronique à le
résoudre (contradictions avec des théorèmes fondemen-
taux de l'algèbre par exemple),fais moi le savoir,ça
m'évitera de me prendre le choux pour rien.

D'avance merci,

Cordialement, le fouineur

**invite4793db90** · 14/04/2006, 15h31

Salut,

désolé, je n'avais pas vu que cet exo était tiré d'un bouquin.

Alors, j'ai cherché un peu et je te trpopose une méthode, qui peut se généraliser mais c'est calculatoire.

Alors on pose $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . On connaît donc trois valeurs $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et on cherche les x, y, z.

Or il est bien connu que la connaissance de $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ permet de retrouver les x, y, z car ces derniers sont solutions de l'équation polynômiale du troisième degré :

$\text{[math]}$

Le problème est ainsi ramener à exprimer $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ en fonction des $\text{[math]}$ connus. Or les premiers calculs donnent :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

and so on...

Reprenons ton exemple : on connaît $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
Ainsi :
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
L'équation à résoudre est donc $\text{[math]}$ et on trouve les solutions $\text{[math]}$ .

Le cas où l'on connait les sommes $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ est donc entièrement résolu.

Pour les exposants supérieurs, le calcul est possible : reste à trouver une relation de récurrence qui permette d'exprimer tout ça sous une forme plus sympa (je m'y mets).

Cordialement.

PS : ma méthode permet de trouver x, y z réels !

**le fouineur** · 15/04/2006, 20h45

Bien vu martini_bird,

La solution que tu proposes est bien plus simple que la
mienne qui nécessite 3 changements de variable.
Juste une question: comment as-tu fait pour déterminer
les expressions de S1^2 , S1^3 et S1^4 ? C' est le dernier point que je souhaiterai voir éclairci

en tous cas merci pour ta réponse rapide,

cordialement le fouineur

**invite4793db90** · 15/04/2006, 21h11

Salut,

Envoyé par le fouineur

Juste une question: comment as-tu fait pour déterminer
les expressions de S1^2 , S1^3 et S1^4 ?

Avec un crayon et de la patience.

Plus sérieusement : en développant $\text{[math]}$ et en faisant apparaître les $\text{[math]}$ et les $\text{[math]}$ . Si tu veux je peux poster ma méthode pour $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ .

Sinon, j'ai regardé un peu pour la généralisation, mais je n'ai pas encore trouvé de formule.

Cordialement.

**invite4793db90** · 15/04/2006, 22h23

Bon ben j'ai deux minutes alors je vais décrire la méthode pour $\text{[math]}$ . Mais c'est strictement calculatoire...

$\text{[math]}$

Comme $\text{[math]}$ , il vient :

$\text{[math]}$

et finalement

$\text{[math]}$

On procède de la même maniére pour les puissances supérieures, à ceci près que l'on peut rencontrer des expressions de la forme $\text{[math]}$ auquel cas, il faut adapter la formule $\text{[math]}$ .

Cordialement.

**le fouineur** · 17/04/2006, 15h10

Bonjour martini_bird,

J' ai maintenant correctement assimilé tous les points de ta démonstration.Elle repose sur le fait que si un
polynôme P(x) est d'expression:

P(x)=x^3+p*x^2+q*x+r et que trois racines a,b et c
l' annulent alors ce polynôme peut aussi s' écrire:

P(x)=x^3-(a+b+c)*x^2+(a*b+a*c+b*c)*x-a*b*c=0

Existe-t' il à ta connaissance une relation entre les racines qui annuleraient un polynôme du 4ème degré?

bon courage, cordialement, le fouineur

**invite4793db90** · 17/04/2006, 16h05

Salut,

Existe-t' il à ta connaissance une relation entre les racines qui annuleraient un polynôme du 4ème degré?

Oui bien sûr ça se généralise à n'importe quel degré en introduisant les polynômes symétriques :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Ainsi :
$\text{[math]}$

Pour généraliser au degré n, il suffit de considérer les

$\text{[math]}$

Cordialement.

PS : j'ai du mal avec la généralisation de ton problème (que je trouve vraiment difficile !), je t'en ferai part quand j'aurai avancé un peu.

**invite4793db90** · 18/04/2006, 00h27

Existe-t' il à ta connaissance une relation entre les racines qui annuleraient un polynôme du 4ème degré?

Oups, j'ai peut-être répondu à côté. Ce que j'ai décrit dans le post précédent correspond à quatre racines.

Si tu veux annuler un polynôme de degré 4 (ou plus) avec trois racines a, b ,c, ce sera nécessairement un multiple de $\text{[math]}$ d'après les théorèmes sur la factorisation des polynômes.

Dans ce cas, tu n'obtiens bien sûr pas d'information supplémentaire.

Cordialement.

invite75af610e · 01/05/2006, 14h33

Envoyé par le fouineur

Bonjour à tous,

Quelqu'un aurait-t'il une idée pour résoudre le système
suivant sous sa forme générale:

x^m+y^m+z^m=a
x^n+y^n+z^n=b
x^p+y^p+z^p=c

J'ai réussi à le résoudre uniquement dans le cas ou:
m=1;n=2,p=3 en posant simplement:
x+y=t,x^2+y^2=t^2-(2*x*y) ou il faut à nouveau
poser

*y=u,il vient par conséquent:
x^2+y^2=t^2-(2*u), de la mème manière on exprime
x^3+y^3 en fonction de t et u,ce qui donne après
simplification:
x^3+y^3=t*(t^2-3*u),puis on revient à l'équation du premier degré en exprimant z en fonction de t
on a donc z=a-t De la on peut en déduire un nouveau
système qui ne comporte plus que deux inconnues:t et u
c'est:
z=a-t
t^2-(2*u)+z^2=b
t^3-(3*u*t)+z^3=c

Il suffit ensuite d'exprimer u en fonction de t en remplaçant u et z par leurs valeurs respectives dans la
deuxième équation du nouveau système, soit:
u=1/2*((a-t)^2)+1/2*(t^2)-a/2
de la pour terminer,il faut remplacer u par sa valeur
dans la troisième équation du nouveau système,on obtient alors une equation du troisième de degré qui ne comporte plus qu'une seule inconnue:t
Il suffit de reporter la valeur de t obtenue dans les
trois équations du système initial pour en déduir enfin
les valeurs de x,y et z

Si quelqu'un a une idée pour résoudre le système initial
sous sa forme générale (avec par exemple m=2,n=3 et
p=4) qu'il me réponde.Ce problème est apparu à titre
d'exercice dans le deuxième volume d' "algèbre supérieure" de Charles de Comberousse paru en 1889
et j'ai cherché pendant un an et demi (entre 1992 et
1993) avant de trouver la solution particulière que je vous ai détaillée.

Bon courage à ceux qui seraient interressé par ce
problème.

Il semble qu'il existe une condition sur m,n,p :

1) p=n
ou 2) p=mn/(n-m)

et que donc (m,n,p)=(2,3,4) ne remplisse pas cette condition, car p devrait valoir 6...mais je n'ai pas ensuite, suivant cette condition, essaye de trouver la solution generale.

invite75af610e · 01/05/2006, 14h41

Errata : cette condition ne marche absolument pas..désolé de l'intervention inutile

**le fouineur** · 01/05/2006, 19h58

Bonjour jpittelo,

Merci d'avoir répondu car ce sujet était tombé dans l'oubli.C' est toujours bien d' avoir essayé.Si ce sujet
t' a interressé alors celui sur l' intégration numérique
méthode de Gauss-Legendre dont plusieurs messages ont
été postés aujourd' hui t' interressera également car il
y est question de systèmes d' équations non linéaires avec 6 équations à 6 inconnues....

**invite4793db90** · 04/05/2006, 12h58

Salut,

bon j'ai un peu de temps donc petit retour sur la méthode que j'avais proposée...

L'idée était d'exprimer $\text{[math]}$ en fonction de $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , déterminer ces derniers pour finalement résoudre l'équation $\text{[math]}$ .

Les premiers calculs donnent :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

En fait on peut écrire $\text{[math]}$ sous la forme d'un polynôme en les variables $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ .

Ainsi on peut écrire :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Bon en fait, les polynômes obéissent à la relation de récurrence (relation de Newton)

$\text{[math]}$

On peut donc les calculer facilement de proche en proche.

Le hic c'est que connaissant trois polynômes $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ c'est compliqué de retrouver $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , sauf pour les tout petits exposants.

Donc voilà, un coup dans l'eau.

Cordialement.

système d'équations non linéaires

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