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système d'équations non linéaires



  1. #1
    le fouineur

    système d'équations non linéaires


    ------

    Bonjour à tous,

    Quelqu'un aurait-t'il une idée pour résoudre le système
    suivant sous sa forme générale:

    x^m+y^m+z^m=a
    x^n+y^n+z^n=b
    x^p+y^p+z^p=c

    J'ai réussi à le résoudre uniquement dans le cas ou:
    m=1;n=2,p=3 en posant simplement:
    x+y=t,x^2+y^2=t^2-(2*x*y) ou il faut à nouveau
    poser*y=u,il vient par conséquent:
    x^2+y^2=t^2-(2*u), de la mème manière on exprime
    x^3+y^3 en fonction de t et u,ce qui donne après
    simplification:
    x^3+y^3=t*(t^2-3*u),puis on revient à l'équation du premier degré en exprimant z en fonction de t
    on a donc z=a-t De la on peut en déduire un nouveau
    système qui ne comporte plus que deux inconnues:t et u
    c'est:
    z=a-t
    t^2-(2*u)+z^2=b
    t^3-(3*u*t)+z^3=c

    Il suffit ensuite d'exprimer u en fonction de t en remplaçant u et z par leurs valeurs respectives dans la
    deuxième équation du nouveau système, soit:
    u=1/2*((a-t)^2)+1/2*(t^2)-a/2
    de la pour terminer,il faut remplacer u par sa valeur
    dans la troisième équation du nouveau système,on obtient alors une equation du troisième de degré qui ne comporte plus qu'une seule inconnue:t
    Il suffit de reporter la valeur de t obtenue dans les
    trois équations du système initial pour en déduir enfin
    les valeurs de x,y et z

    Si quelqu'un a une idée pour résoudre le système initial
    sous sa forme générale (avec par exemple m=2,n=3 et
    p=4) qu'il me réponde.Ce problème est apparu à titre
    d'exercice dans le deuxième volume d' "algèbre supérieure" de Charles de Comberousse paru en 1889
    et j'ai cherché pendant un an et demi (entre 1992 et
    1993) avant de trouver la solution particulière que je vous ai détaillée.

    Bon courage à ceux qui seraient interressé par ce
    problème.

    -----

  2. #2
    rvz

    Re : système d'équations non linéaires

    Bonjour,

    En tout cas, si tu cherches des solutions x, y et z entières, tu n'en auras pas beaucoup, par le théorème de Fermat-Wiles. Et même si je ne connais pas la preuve, et que sans doute je ne pourrais pas en comprendre l'essentiel, ça ne m'étonnerait pas que ça prouve au passage que tu ne peux pas exprimer x y et z comme des fonctions algérbiques en a,b et c. Mais là, il faudrait l'avis d'un expert, pas d'un quidam comme moi.

    __
    rvz

  3. #3
    le fouineur

    Re : système d'équations non linéaires

    Citation Envoyé par rvz
    Bonjour,

    En tout cas, si tu cherches des solutions x, y et z entières, tu n'en auras pas beaucoup, par le théorème de Fermat-Wiles. Et même si je ne connais pas la preuve, et que sans doute je ne pourrais pas en comprendre l'essentiel, ça ne m'étonnerait pas que ça prouve au passage que tu ne peux pas exprimer x y et z comme des fonctions algérbiques en a,b et c. Mais là, il faudrait l'avis d'un expert, pas d'un quidam comme moi.

    __
    rvz
    Je vois que tu n'as pas lu ma démonstration jusqu'au bout!!

    Il s'agit de l'égalité:

    x^3+y^3+z^3=c et non de:

    x^3+y^3=z^3 qui est impossible à satisfaire avec
    x,y et z entiers.

    Par exemple le système suivant admet pour solutions les
    6 combinaisons possibles de x=12 , y=15 et z=21

    x^1+y^1+z^1=48
    x^2+y^2+z^2=810
    x^3+y^3+z^3=14364

    Ce système est donc tout à fait résoluble avec x,y et z
    entiers.Ma question était: peut-on encore le résoudre si
    les 3 équations sont:

    x^2+y^2+z^2=810
    x^3+y^3+z^3=14364
    x^4+y^4+z^4=265842 ou encore:

    x^3+y^3+z^3=14364
    x^4+y^4+z^4=265842
    x^5+y^5+z^5=5092308 ....C'est loin d'ètre évident et

    pourtant mon bouquin (cité dans mon premier message)
    affirme que:

    x^n+y^n+z^n=a
    x^m+y^m+z^m=b
    x^p+y^p+z^p=c est parfaitement résoluble sous

    cette forme générale, mais l'exercice concerné n'est pas corrigé dans ce mème livre et c'est moi qui ai trouvé une
    solution particulière dans le cas ou n=1 , m=2 et z=3
    J'espère avoir répondu à ta question et j'en profite pour
    corriger un caractère qui est remplacé par un smiley:
    li faut lire: x*y=u

  4. #4
    invite986312212
    Invité

    Re : système d'équations non linéaires

    au fait, je me suis posé la question suivante.
    Puisqu'on sait, grâce à Wiles, que l'équation
    x^n+y^n+z^n=0 n'a pas de solution en entiers,
    quel est le minimum de |x^n+y^n+z^n| ?
    est-ce que c'est toujours 1 quel que soit n?
    ex: 9^3-8^3-6^3=1 (=1^3 d'ailleurs)

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    rvz

    Re : système d'équations non linéaires

    Evidemment, il y a la solution triviale (1,0,0).
    Mais y a-t-il des conjectures qui en diraient un peu plus sur le minimum sur les triplets non triviaux ?

    __
    rvz

  7. #6
    le fouineur

    Re : système d'équations non linéaires

    Citation Envoyé par ambrosio
    au fait, je me suis posé la question suivante.
    Puisqu'on sait, grâce à Wiles, que l'équation
    x^n+y^n+z^n=0 n'a pas de solution en entiers,
    quel est le minimum de |x^n+y^n+z^n| ?
    est-ce que c'est toujours 1 quel que soit n?
    ex: 9^3-8^3-6^3=1 (=1^3 d'ailleurs)
    Bonjour QUOTE,

    Je ne me suis pas encore posé la question que tu as évoqué,s'agit-t'il d'une valeur absolue pour:
    x^n+y^n+^n ?

    Sinon, quelqu'un a t'il une idée pour résoudre mon
    système d'équations sous la forme générale?
    Au besoin, relire le message #3

  8. #7
    invite986312212
    Invité

    Re : système d'équations non linéaires

    Citation Envoyé par le fouineur
    Bonjour QUOTE,

    Je ne me suis pas encore posé la question que tu as évoqué,s'agit-t'il d'une valeur absolue pour:
    x^n+y^n+^n ?
    j'ai oublié de préciser n premier impair. Mais si tu préfères l'écriture traditionnelle, la question est: peut-on résoudre l'équation x^n+y^n = z^n +/- 1 en nombres entiers strictement positifs?
    oui pour n=3 comme je l'ai indiqué. Mais en général?

  9. #8
    martini_bird

    Re : système d'équations non linéaires

    Salut,

    la méthode de Wiles et de ses prédécesseurs consiste à étudier les points rationnels sur la courbe correspondante : l'équation donne par exemple en coordonnées homogènes mais on peut aussi étudier d'autres courbes (pour le théorème de Fermat, les courbes EABC).

    Ainsi pour les courbes elliptiques il y a des théorèmes de structure puissants (théorème de STW) mais bon c'est plutôt hard.

    Pour plus d'infos, tu peux regarder la conférence de Hellegouarch ou consulter son bouquin Invitation au théorème de Fermat-Wiles.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  10. #9
    le fouineur

    Re : système d'équations non linéaires

    Citation Envoyé par martini_bird
    Salut,

    la méthode de Wiles et de ses prédécesseurs consiste à étudier les points rationnels sur la courbe correspondante : l'équation donne par exemple en coordonnées homogènes mais on peut aussi étudier d'autres courbes (pour le théorème de Fermat, les courbes EABC).

    Ainsi pour les courbes elliptiques il y a des théorèmes de structure puissants (théorème de STW) mais bon c'est plutôt hard.

    Pour plus d'infos, tu peux regarder la conférence de Hellegouarch ou consulter son bouquin Invitation au théorème de Fermat-Wiles.

    Cordialement.
    Très bien martini_bird,

    Mais Aurais-tu une petite idèe sur le problème posé à
    l' origine ? (messages #1 et #3).Toute contribution
    pourra m' ètre utile vu que je suis bloqué depuis 1993.
    Mais depuis 1993, je ne me suis pas repenché sur ce
    problème.Si tu vois une impossibilité chronique à le
    résoudre (contradictions avec des théorèmes fondemen-
    taux de l'algèbre par exemple),fais moi le savoir,ça
    m'évitera de me prendre le choux pour rien.

    D'avance merci,

    Cordialement, le fouineur

  11. #10
    martini_bird

    Re : système d'équations non linéaires

    Salut,

    désolé, je n'avais pas vu que cet exo était tiré d'un bouquin.

    Alors, j'ai cherché un peu et je te trpopose une méthode, qui peut se généraliser mais c'est calculatoire.

    Alors on pose , et . On connaît donc trois valeurs , et et on cherche les x, y, z.

    Or il est bien connu que la connaissance de , et permet de retrouver les x, y, z car ces derniers sont solutions de l'équation polynômiale du troisième degré :



    Le problème est ainsi ramener à exprimer , et en fonction des connus. Or les premiers calculs donnent :







    and so on...

    Reprenons ton exemple : on connaît , et
    Ainsi :
    et
    et
    L'équation à résoudre est donc et on trouve les solutions .

    Le cas où l'on connait les sommes , et est donc entièrement résolu.

    Pour les exposants supérieurs, le calcul est possible : reste à trouver une relation de récurrence qui permette d'exprimer tout ça sous une forme plus sympa (je m'y mets).

    Cordialement.

    PS : ma méthode permet de trouver x, y z réels !
    Dernière modification par martini_bird ; 14/04/2006 à 14h34.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  12. #11
    le fouineur

    Re : système d'équations non linéaires

    Bien vu martini_bird,

    La solution que tu proposes est bien plus simple que la
    mienne qui nécessite 3 changements de variable.
    Juste une question: comment as-tu fait pour déterminer
    les expressions de S1^2 , S1^3 et S1^4 ? C' est le dernier point que je souhaiterai voir éclairci

    en tous cas merci pour ta réponse rapide,

    cordialement le fouineur

  13. #12
    martini_bird

    Re : système d'équations non linéaires

    Salut,

    Citation Envoyé par le fouineur
    Juste une question: comment as-tu fait pour déterminer
    les expressions de S1^2 , S1^3 et S1^4 ?
    Avec un crayon et de la patience.

    Plus sérieusement : en développant et en faisant apparaître les et les . Si tu veux je peux poster ma méthode pour ou .

    Sinon, j'ai regardé un peu pour la généralisation, mais je n'ai pas encore trouvé de formule.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  14. #13
    martini_bird

    Re : système d'équations non linéaires

    Bon ben j'ai deux minutes alors je vais décrire la méthode pour . Mais c'est strictement calculatoire...



    Comme , il vient :



    et finalement



    On procède de la même maniére pour les puissances supérieures, à ceci près que l'on peut rencontrer des expressions de la forme auquel cas, il faut adapter la formule .

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  15. #14
    le fouineur

    Re : système d'équations non linéaires

    Bonjour martini_bird,

    J' ai maintenant correctement assimilé tous les points de ta démonstration.Elle repose sur le fait que si un
    polynôme P(x) est d'expression:

    P(x)=x^3+p*x^2+q*x+r et que trois racines a,b et c
    l' annulent alors ce polynôme peut aussi s' écrire:

    P(x)=x^3-(a+b+c)*x^2+(a*b+a*c+b*c)*x-a*b*c=0

    Existe-t' il à ta connaissance une relation entre les racines qui annuleraient un polynôme du 4ème degré?

    bon courage, cordialement, le fouineur

  16. #15
    martini_bird

    Re : système d'équations non linéaires

    Salut,
    Existe-t' il à ta connaissance une relation entre les racines qui annuleraient un polynôme du 4ème degré?
    Oui bien sûr ça se généralise à n'importe quel degré en introduisant les polynômes symétriques :









    Ainsi :


    Pour généraliser au degré n, il suffit de considérer les



    Cordialement.

    PS : j'ai du mal avec la généralisation de ton problème (que je trouve vraiment difficile !), je t'en ferai part quand j'aurai avancé un peu.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  17. #16
    martini_bird

    Re : système d'équations non linéaires

    Existe-t' il à ta connaissance une relation entre les racines qui annuleraient un polynôme du 4ème degré?
    Oups, j'ai peut-être répondu à côté. Ce que j'ai décrit dans le post précédent correspond à quatre racines.

    Si tu veux annuler un polynôme de degré 4 (ou plus) avec trois racines a, b ,c, ce sera nécessairement un multiple de d'après les théorèmes sur la factorisation des polynômes.

    Dans ce cas, tu n'obtiens bien sûr pas d'information supplémentaire.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  18. #17
    jpittelo

    Re : système d'équations non linéaires

    Citation Envoyé par le fouineur
    Bonjour à tous,

    Quelqu'un aurait-t'il une idée pour résoudre le système
    suivant sous sa forme générale:

    x^m+y^m+z^m=a
    x^n+y^n+z^n=b
    x^p+y^p+z^p=c

    J'ai réussi à le résoudre uniquement dans le cas ou:
    m=1;n=2,p=3 en posant simplement:
    x+y=t,x^2+y^2=t^2-(2*x*y) ou il faut à nouveau
    poser*y=u,il vient par conséquent:
    x^2+y^2=t^2-(2*u), de la mème manière on exprime
    x^3+y^3 en fonction de t et u,ce qui donne après
    simplification:
    x^3+y^3=t*(t^2-3*u),puis on revient à l'équation du premier degré en exprimant z en fonction de t
    on a donc z=a-t De la on peut en déduire un nouveau
    système qui ne comporte plus que deux inconnues:t et u
    c'est:
    z=a-t
    t^2-(2*u)+z^2=b
    t^3-(3*u*t)+z^3=c

    Il suffit ensuite d'exprimer u en fonction de t en remplaçant u et z par leurs valeurs respectives dans la
    deuxième équation du nouveau système, soit:
    u=1/2*((a-t)^2)+1/2*(t^2)-a/2
    de la pour terminer,il faut remplacer u par sa valeur
    dans la troisième équation du nouveau système,on obtient alors une equation du troisième de degré qui ne comporte plus qu'une seule inconnue:t
    Il suffit de reporter la valeur de t obtenue dans les
    trois équations du système initial pour en déduir enfin
    les valeurs de x,y et z

    Si quelqu'un a une idée pour résoudre le système initial
    sous sa forme générale (avec par exemple m=2,n=3 et
    p=4) qu'il me réponde.Ce problème est apparu à titre
    d'exercice dans le deuxième volume d' "algèbre supérieure" de Charles de Comberousse paru en 1889
    et j'ai cherché pendant un an et demi (entre 1992 et
    1993) avant de trouver la solution particulière que je vous ai détaillée.

    Bon courage à ceux qui seraient interressé par ce
    problème.
    Il semble qu'il existe une condition sur m,n,p :

    1) p=n
    ou 2) p=mn/(n-m)

    et que donc (m,n,p)=(2,3,4) ne remplisse pas cette condition, car p devrait valoir 6...mais je n'ai pas ensuite, suivant cette condition, essaye de trouver la solution generale.

  19. #18
    jpittelo

    Re : système d'équations non linéaires

    Errata : cette condition ne marche absolument pas..désolé de l'intervention inutile

  20. #19
    le fouineur

    Re : système d'équations non linéaires

    Bonjour jpittelo,

    Merci d'avoir répondu car ce sujet était tombé dans l'oubli.C' est toujours bien d' avoir essayé.Si ce sujet
    t' a interressé alors celui sur l' intégration numérique
    méthode de Gauss-Legendre dont plusieurs messages ont
    été postés aujourd' hui t' interressera également car il
    y est question de systèmes d' équations non linéaires avec 6 équations à 6 inconnues....

  21. #20
    martini_bird

    Re : système d'équations non linéaires

    Salut,

    bon j'ai un peu de temps donc petit retour sur la méthode que j'avais proposée...

    L'idée était d'exprimer en fonction de , et , déterminer ces derniers pour finalement résoudre l'équation .

    Les premiers calculs donnent :











    En fait on peut écrire sous la forme d'un polynôme en les variables , et : .

    Ainsi on peut écrire :











    Bon en fait, les polynômes obéissent à la relation de récurrence (relation de Newton)


    On peut donc les calculer facilement de proche en proche.

    Le hic c'est que connaissant trois polynômes , et c'est compliqué de retrouver , et , sauf pour les tout petits exposants.

    Donc voilà, un coup dans l'eau.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

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