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système d'équations non linéaires



  1. #1
    space-kro

    système d'équations non linéaires


    ------

    Bonjour

    je cherche à trouver l'intersection d'un cercle avec un sinusoïde. Le centre du cercle(xi,yi )se trouve sur la sinusoïde. le rayon (r) est inferieur à la demi periode de la sinusoïde.

    Je d'abord cherché à paramétrer mes courbes :

    pour la sinusoïde
    x = t/k
    y = A(1 - cos(t))

    pour le cercle
    x = r * sin(t') + xi
    y = r * cos(t') + yi

    si j'égalise j'ai un système assez complexe et je n'ai pas trop d'idée pour le résoudre. Les idées (changement de variables "intelligent", méthode particulière, etc.) sont les les bienvenues

    t - k* r * sin(t') = xi
    A * cos(t) + r * cos(t') = A - yi


    Merci

    -----

  2. #2
    edpiste

    Re : systeme d'équations non linéaires

    en coordonées cartésiennes, on a

    y=A(1-cos(kx)) et (x-xi)^2 + (y-yi)^2 = r^2 donc x vérifie

    (x-xi)^2 + (A(1-cos(kx))-yi)^2 = r^2

    dont les solutions ne peuvent être obtenues que numériquement à mon avis.

  3. #3
    ericcc

    Re : systeme d'équations non linéaires

    Tu peux simplifier en prenant le l'origine comme centre du cercle, et en utilisant l'égalité 1-cos(2a)=2sin²(a)
    Tu obtiens



    Après je pense effectivement que les méthodes numériques sont nécessaires

  4. #4
    space-kro

    Re : systeme d'équations non linéaires

    Bonjour,

    merci pour les simplifications, je vais aller voir du coté de Newton-Raphson pour trouver des solutions.

    Bonne continuation

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    space-kro

    Re : systeme d'équations non linéaires

    Bonjour,

    je viens de vérifier les simplifications et j'ai un doute.

    si tu prends le centre du cercle comme origine : X = x - xi et Y = y - yi

    X² + Y² = r² pour le cercle

    et pour la sinosoïde :

    Y = A(1 - cos(k*(X+xi))) - yi

    ça fait que quand tu remets le Y dans le cercle, il te reste le terme en yi et xi.

    En gros ça donnerait plutôt :

    X² + (2A sin²(k/2 (X+xi)) - yi)² = r²
    Dernière modification par space-kro ; 09/03/2007 à 14h00.

  7. #6
    ericcc

    Re : systeme d'équations non linéaires

    J'ai simplifié en posant xi=yi=0

  8. #7
    space-kro

    Re : systeme d'équations non linéaires

    Salut,

    bah en fait tu peux, mais ça ne répond pas au problème générale qui veut que justement on se balade sur la sinusoïde de point en point.

    Parce que le point d'intersection que je trouverais sera xi+1 et je recommencerais le processus.

    Voila, ça fait une équation un peu plus compliqué, mais pour le moment on fait une méthode par dichotomie parce que ça nous parait plus simple à implémenter.

  9. #8
    Tamouma

    Re : système d'équations non linéaires

    Bonjour,
    Je voudrai bien que vous m'aidiez à résoudre le système non linéaire suivant:
    ax^2y+2bxy+cx-dy+e=0
    axy^2+by^2-fx+cy=0
    où a,b,c,d,e,f>0.
    Merci.

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