systèmes d'équations non linéaires (bis)

[le fouineur]

bonjour à tous

Les systèmes d'équations non linéaires sont un sujet qui me tient à coeur car comme l'indique le titre c' est la deuxième fois que je poste sur ce thème...

Il s'agit aujourd'hui de résoudre un système possédant deux paires de solutions symétriques et d'essayer de déduire des conditions sur la forme des solutions:

Soit le système:

x+y=z
(1/x^2)+(1/y^2)=t en réduisant au mème

dénominateur,il vient:

x+y=z
[x^2+y^2]/[x*y^2]=t et si l'on appelle

x+y=S et x*y=P on peut alors réécrire le système sous la forme suivante:

S=z
[S^2-2*P]/P^2=t et le système revient à la résolution d'une équation du second degré puisque S est supposée connue.....
Connaissant S et deux valeurs réelles de P,il est alors possible de former deux nouvelles équations de la forme classique:X^2-S*X+P=0 dont la résolution donnera(à condition que l'équation en S et P ait deux solutions réelles)deux couples de solutions symétriques:

{(x,y),(y,x),(x',y'),(y',x')} à condition encore que les deux équations du type:X^2-S*X+P=0 admettent elles aussi deux couples de solutions réelles.

Et voila la question embarrassante:Peut-on dans ce type de système d'équations choisir z et t de maniére à ce que les deux paires de couples de solutions appartiennent à l'ensemble des rationnels?
En d'autres termes je voudrais obtenir comme solutions finales quatres expressions (deux à deux symétriques) oû les racines aient disparu.
Un mathématicien m'a affirmé d'après ses recherches que mon problème admettait des solutions mais il a maladroitement égaré le papier sur lequel il avait noté la solution.Il restera donc toujours un doute sur l'existence de ces solutions tant qu'on aura pas pu en exhiber un exemple...
C'est un problème d'algèbre d'un niveau qui ne m'est pas actuellement accessible.-j' ai retourné le problème dans tous les sens pendant des heures sans arriver à déterminer la plus petite condition sur z et sur t-et je félicite d' avance quiconque pourra le faire avancer...

bon courage et surtout bonne patience

Et merci d' avance pour vos réponses

Cordialement le fouineur
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[invite35452583]

Salut,
peut-être une piste :
je note s et p la somme et le produit de x et y, s'=s et p' ceux de x' et y'.
x,y,x' et y' sont rationnels si et seulement si :
1) s, p et p' sont rationnels
2) s²-4p et s²-4p' sont dans Q²

z et t existe-t-il pour s, p et p' donnés ?
z=s
on a tP²+2P-s²=0 pour P=p ou p'
z pas de problème, pour t il y a "risque" de double dertémination.
On vérifie facilement que t est déterminé de manière unique ssi s²(p+p')=2pp'

On a donc p'=s²p/(2p-s²)
et s²-4p'=s²(s²+2p)/(s²-2^p) est dans Q² revient à (s²+2p)/(s²-2p) est dans Q².

Une CNS est donc de trouver s et p rationnels tels que :
s²-4p et (s²+2p)/(s²-2p) sont dans Q².

Ce qui est cherché une condition suffisante, une possibilité est d'alors en posant s=m/n
m²-4pn² (m²+2pn²)/(m²-2pn²) sont dans Q²
Et il suffit que h=2pn² soit entier (si on a h on peut "jouer" sur p pour que avoir un carré d'entiers) et
m²-2h, m²+h, m²-h soient des carrés parfaits.
Autrement dit, il faut trouver 4 carrés parfaits également espacés.
3 il y en a :
1, 25, 49
49,169,289
...
4 je n'ai pas mais je pense que ça existe (il faut des entiers plus grands)
et ça ne m'étonnerait pas que quelqu'un sur le forum puisse dire quelque chose là dessus.

[le fouineur]

Bonjour homotopie,

J'ai lu ton message hier soir très tard et je n'ai pu y répondre tout de suite.Je vais examiner ta proposition en détail (avec papier et crayon) aujourd'hui et je t'enverrai mes conclusions dès que possible...

En tous cas merci d'avoir accodé de l'attention à mon problème.

Cordialement le fouineur

[le fouineur]

Bonsoir à tous,bonsoir homotopie

désolé de jouer les rabat-joie,mais j'ai relu tes lignes avec attention et je suis tombé successivement sur 2 problèmes:

1)Je te cites: "pour t il y a un "risque" de double détermination" Le faît est que s'il n'y a pas de double détermination pour P,mon problème n'existe plus car on est ramené au cas de la résolution d'une simple équation du second degré:S a une seule détermination,et P une seule détermination,donc par suite une seule paire de solutions symétriques.

2)D' autre part,tu introduis au 2) comme condition:S^2-4*P et S^2-4*P' sont dans Q^2,mais d'oû viennnent S^2-4*P et S^2-4P' que je n'ai pas définis...
J'ai seulement défini: t*P^2+2*P-S^2=0 qui donne deux déterminations de P à condition que Delta>0.

La suite de ton raisonnement est fausse puisque parti de bases fausses......

J'ai un peu avancé entre temps sur les conditions à mettre sur z et t.A l'aide de "Mathematica",j' ai pu établir des conditions sur z et t et y sont de la forme:

x=z/2-[Sqrt[4*t+(t^2*z^2)-4*t*Sqrt(1+t*z^2)]/2*t

et y=[z*t+Sqrt[4*t+(t^2*z^2)-4*t*Sqrt(1-t*z^2)]]/2*t

Reste donc à déterminer la forme de x et y e fonction de z et t d'après leurs expressions respectives sachant que(1+t*z^2) doit être un carré parfait et que:
[4*t+(t^2*z^2)-4*t*Sqrt(1+t*z^2)] doit aussi être impérativement un carré parfait pour que l"égalité donne un rationnel pour x et pour y, ce qui est recherché.....

Cordialement le fouineur

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Je reprécise mon idée :
toi tu cherches directement z et t, moi je cherche {x,y} et {x',y'} ce qui donnera z et t.
x,y, x' et y' doivent satisfaire :
i) ils sont rationnels
ii) ils vérifient le même système d'équations :
X+Y=z
et 1/X²+1/Y²=t

La donnée de {x,y} et {x',y'} est équivalente à la donnée des sommes (s et s' avec s'=s) et des produits des deux éléments de chaque paire (p et p').
Ce changement d'éléments recherchés (s,p et p' au lieu de x,y,x' et y') demande de chercher quelles sont les conditions que doivent satisfaire s, p et p' pour que les valeurs de x, y , x' et y' donnés par ces premiers conviennent.
i) x, y, x' et y' sont rationnels
Or, x et y sont les solutions de l'équation
X²-sX+P=0 dont les racines (donc x et y)
sont
x et y rationnels=>s et p rationnels car Q est un corps d'une part, d'autre part puisque x, y s et p sont rationnels l'expression des racines du polynôme implique que est rationnel, autrement dit s²-4p est dans Q²
Réciproquement, s, p rationnels s²-4p dans Q²=>x et y rationnels. ceci constitue la réponse à ta remarque 2). s²-4p et s²-4p' ne sont pas introduits par toi mais par moi (on ne cherche pas par le même "bout")
ii) ils vérifient le même système d'équations :
X+Y=z
et 1/X²+1/Y²=t
Pour s,p,s',p' la 1ère équation revient à s=s'
Pour exprimer la deuxième en terme de s, p et p', il faut chercher l'expression de cette équation en s,p et p' qui n'est rien d'autres que p et p' vérifient
tP²+2P-s²=0 avec le même t pour p et p'(si ces deux valeurs sont distinctes il y a "double indétermination de t" et donc les paires {x,y} et {x',y'} données une par (s,p) l'autre par (s,p') ne vérifient pas un même système de la forme voulue).
Ceci est la réponse à la 1ère remarque en y ajoutant la remarque suivante : si p et p' sont égaux, non ce n'est pas gagné : on obtient le même couple {x,y}={x',y'} ce qui ne répond pas à la question posée.
A remarquer que la condition p et p' solution d'une même équation de la forme tP²+2P-s²=0 (s et p étant donnés)
revient à
ce qui revient à s²(p+p')=2pp'.

De ceci, il en sort que l'on a z et t vérifiant il existe deux paires de solutions (et donc 4 couples) {x,y} {x',y'} rationnelles à
X+Y=z
1/X²+1/Y²=t
si et seulement si
il existe s, p et p' tels que
i) s, p et p' sont rationnels avec s²-4p et s²-4p' dans Q²
ii) s²(p+p')=2pp'
Le ii) pouvant s'écrire aussi
on aboutit à (la nouvelle expression définissant p' en fonction de s et p)
z et t (vérifiant les conditions voulues) existent si et seulement si :
il existe s et p rationnels tels que :
s²-4p et sont dans Q².
Ou encore à (puisque et Q²/s²=Q²) :
il existe s et p rationnels tels que :
s²-4p et sont dans Q².
Fin de l'équivalence
Pour que cette dernière condition soit vraie il suffit... (cf fin de mon 1er message)
J'espère que ces dernières précisions te seront utiles.
Je te ferai remarquer que mon expression (obtenue par une voie "indirecte") est beaucoup plus simple que la tienne (surtout qu'il manque l'expression de x' et y' qui doivent être eux aussi des rationnels).

Cordialement

[invite35452583]

Et une simplification de plus :
on pose q²=s²-4p (qui est dans Q² donc q est rationnel)
On a p=
p doit être distinct de p' aboutit à 3s² distinct de -q² ce qui ne peut se produire que si s=q=0.
D'autre part, pour remonter jusqu'à x,y,x',y' z et t, il y a une seconde condition : p doit être non nul autrement dit s distinct de q
Arrivons au vif du sujet
En posant p=, on a automatiquement s²-4p est dans Q², il ne reste donc qu'à vérifier que
est dans Q² or ce quotient est égal à

On aboutit donc à z et t existent si et seulement si
il existe s et q rationnels distincts en valeur absolue tels que soit dans Q²
Il n'y a plus qu'une vérification de carrés à faire.
Là j'ai pas le matos mais il serait intéressant de chercher déjà pour s et q entiers.

[le fouineur]

Bonjour homotopie,

J'ai relu tes deux messages et il me semble qu'il y ait confusion dans les noms donnés aux variables:

1)Il n'y a pas de somme S',il y a seulement une détermination de S=x+y c'est une donnée du problème

2) "x et y rationnels =>S,P et P' rationnels":Je suis d'accord
"puisque x,y,S et P sont rationnels,l'expression des racines du polynôme implique que Sqrt[S^2-4*P] est rationnel":Non,c'est précisément ce qu' on voudrait obtenir, mais ce n' est pas gagné d' avance...
Pour que Sqrt[S^2-4*P] etSqrt[S^2-4*P']soient rationnels,il faut que S^2-4*P et S^2-4*P' soient des carrés parfaits.Il faut revenir imprativement à la définition de S et P pour pouvoir trancher.Mais la réciproque que tu as écrit est vraie,elle: "si S^2-4*P est un carré parfait,alors les expressions de x et y sont rationnelles"=>O.K. pour ça

3)Tu reviens à la charge avec:"Pour S,P,S',P',la première équation revient à S=S' "
=>Mais d'oû sort donc ce S' qui n'est pas défini par l'énoncé du problème??

4)Je lis:"Pour exprimer la deuxième équation en termes deS,P et P' qui n' est rien d' autre que P et P' vérifient
t*P^2+2*P-S^2=0 avec le mème t pour P et P' "
=>Je n'ai jamais dit le contraire et je n' ai défini qu' un seul et mème t dans le système d' équations de l' énoncé.
Tu reparles ensuite de "t et t' " à la ligne suivante et tu énonces que: "S^2*(P+P')=2*P*P' ".Comment as-tu fait pour obtenir cette dernière relation en partant de:

(S^2-4*P)/P^2=(S^2-4*P')/P'^2 ???

Moi,j'ai fait les produits en croix et j'ai simplifié par (P'-P) des deux cotés et j'arrive à: S^2*(P+P')=4*P*P'
Partant de cette dernière relation,j' obtiens:

P'=[S^2*P]/[4*P-S^2] donc

S^2-4*P'=S^2-4*[[S^2*P]/[4*P-S^2]]
=S^2*[[1-4*P]/[4*P-S^2]]

Et je n'arrives pas à obtenir la relation:

S^2-4*P'=[S^2+2*P]/[S^2-2*P]

Pourrais-tu revoir tout ça quand tu auras le temps?

Cordialement le fouineur

[invite35452583]

Salut,
tu écris il n'y a pas de somme s'. Si tu pars de z et t et que tu cherches quelles propriétés ils doivent vérifier oui (c'est ta démarche)
Si tu prends ma démarche
1) la donnée de z et t vérifiant condition C1 est équivalente à la donnée de x, y, x' et y' vérifiant C2, C2 étant en fait mon i) et ii)

A ce moment ce qu'on suppose donnés sont x, y x' et y' donc s, s', p et p' existent. s' n'est pas donné dans l'énoncé et alors??? (on peut démontrer Pythagore en découpant judicieusement des carrés, des rectangles qui eux non plus ne sont pas dans l'énoncé, le principal est qu'il soit bien défini)

En posant s=x+y,...p'=x'y', on a
2) la donnée de x,y,x' et y' vérifiant C2 est équivalente à la donnée de s, s', p et p' vérifiant C3
(C3 est à déterminer et c'est fait malgré tes réticences il y a entre autres s=s')

"x et y rationnels =>S,P et P' rationnels":Je suis d'accord
"puisque x,y,S et P sont rationnels,l'expression des racines du polynôme implique que Sqrt[S^2-4*P] est rationnel":Non,c'est précisément ce qu' on voudrait obtenir, mais ce n' est pas gagné d' avance...

Ce que je montre (et qui est un classique)
est x, y rationnels=>s, p et s²-4p rationnel
C'est une implication qui est montré ici c'est donc la moindre des choses de supposer que l'hypothèse est vraie.

les conditions C3 se ramènent à ce qui a été annoncé.

"S^2*(P+P')=2*P*P' ".Comment as-tu fait pour obtenir cette dernière relation en partant de:

(S^2-4*P)/P^2=(S^2-4*P')/P'^2 ???

Tout simplement parce que je ne pars pas de cette relation. Tu confonds les expressions des conditions i) et ii)
tp²+2p-s²=0 donc tp²=s²-2p
d'où t=
expression équivalente en t' et p'
Remplace le 4 par 2 dans tes calculs et tu obtiendras la même chose

Essaie de bien comprendre ma démarche qui est basée toujours sur le même type
donnée (existence) de tels inconnus vérifiant conditions C est équivalente à donnée de telles autres inconnues (liées aux premières par telles relations) vérifiant conditions C'.

Cordialement

[invite35452583]

On en était à
donnée de z et t <=> donnée de s et q rationnels distincts en v.a. tels que
soit dans Q²

Une vérification de carrés chez les rationnels c'est pénible ramenons nous aux entiers.
Mais commençons par remarquer que :

si s'=ks et q'=kq
s et q solutions <=> tous les points (autres que (0,0) ) de la droite rationnelle (ks,kq) sont solutions
En fait, en retournant au système initial, on se rend compte que si {x,y} et {x',y'} sont solutions du système pour z et t alors
{kx,ky} et {kx',ky'} sont solutions du système pour zkz et t/k² pour k rationnel.

a, b, c, d entiers
On a en se ramenant aux mêmes dénominateurs en haut et en bas et en simplifiant

où m=ad et n=bc donc entiers
Une solution avec s et q rationnels peut toujours se déduire d'une solution avec m et n entiers par ce biais.
Explicitons (m,n) solution entière
-> toute la droite rationnelle engendré par (m,n) est solution
->de plus si m=ad et n=bc, on obtient une autre solution non colinéaire à la première si b et d distincts
Avec un peu de réflxion on se rend compte qu'il suffit pour déterminer l'ensemble des solutions en toute généralité qu'il suffit de trouver les solutions avec m, n entiers premiers entre eux.

Le quotient en 3m²-n² se simplifie-t-il ?
1ère chose :
^: pgcd
3m²-n²^m²+n²=4m²^m²+n² (on somme)
1er cas) m pair -> n impair ->m²+n² impair
donc 4m²^m²+n²=m²^m²+n²=m²^n²=1
2ème cas) m impair donc 4^m²=1
d'où 4m²^m²+n²=(4^m²+n²)(m²^m²+n²)= 4^m²+n²
=1 si n pair
=2 i n impair (m²+n² congru à 1+1=2modulo 4)

2ème chose :
3m²-n² n'est pas un carré, en effet si 3m²-n²=c²
on a 3m²=n²+c² or 3 est un entier de Gauss premier donc 3 divise n+ic ou n-ic dans les deux cas on aboutit à 3 divise n et c.
On a alors 9 divise n²+c²=3m² donc 3 divise m² d'où 3 divise m et 3 divise m^n=1 (contradiction)

Un seul cas est donc possible m et n impairs
dans Q²
le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux donc sont des carrés
m²+n²=2carré
((m+n)/2)²+((m-n)/2)²=carré
et il est trivial de vérifier que les deux termes de gauhe sont premiers entre eux avec un impair disons (m-n)/2 (on peut s'y ramener par un simple changement de signe)
Il existe u, v impairs premiers entre eux
t.q (m+n)/2=(u²-v²)/2 et (m-n)/2=uv
m=(u²-v²+2uv)/2
n=(u²-v²-2uv)
(3m²-n²)/2=carré
après calcul revient à
((u²+v²)/2)²+2uv(u²-v²)=carré
et on peut multiplier par 4 qui est un carré

On aboutit à on peut paramétrer les solutions "primitives" du problème par les couples d'entiers impairs premiers entre eux (u,v) tels que
(u²+v²)²+8uv(u²-v²) soit dans N² (et on vérifie facilement que cet élément de N dont on prend le carré est de la forme 2fois un impair)
Plus qu'une vérif de carré mais chez les entiers avec une expression pas très méchante

[le fouineur]

Bonjour homotopie,bonjour à tous

Désolé de te répondre si tard mais j' étais parti.Merci de t' être donné tant de mal pour mon problème...
J' avoue qu' après relecture j' ai du mal à suivre tes raisonnements après les changements de variables que tu opères successivement:
D' abord s et q ,ensuite m et n, et enfin u et v.Mais bon..
Est-ce qu'on peut tirer des conclusions décisives sur z et t ou sur x,y,x',y' de tout cela?Sinon,peut-on en déduire un ou plusieurs renseignements supplémentaires sur la forme de z et t?
Dans ton dernier message,tu n'écris pas de conclusion nous renvoyant aux données initiales du problème:il serait utile de les exprimer afin de vérifier si elles sont compatibles avec les données du problème.

Dans l'attente de lire ta réponse,

Cordialement le fouineur

[invite4793db90]

Salut,

je suis parti sur une autre voie qu'homotopie : j'ai résolu l'équation dans R et j'obtiens donc une condition sur z et t pour que les racines soient rationnelles. Par contre, ce n'est pas efficace (il fallait s'y attendre, c'est la méthode bourrin ). Je vais relire la démarche d'homotopie. En attendant voici mon cheminement.

_______________

On fixe z et t et on cherche x et y. Avec P=x+y et S=xy le système devient



L'équation donne P :



Puisque x et y sont solutions de l'équation , x et y sont (à permutation près)

_______________

Maintenant, il est clair que pour que x et y soient rationnels il faut que et le soient.

Par conséquent, dans l'expression des solutions, il faut et il suffit que soit rationnel pour que x et y le soient. doit donc être le carré d'un rationnel et par suite également.

En posant , , et le problème est donc ramené à trouver deux rationnels u et t tels que :

- u s'écrive sous la forme ,

- est le carré d'un rationnel.

Voili, c'est loin d'être effectif mais ça peut p'tet donner des idées...

Cordialement.

[le fouineur]

Bonsoir martini_bird,

Merci d' avoir lu mon post,

j'ai posé le problème à "mathematica" et il a trouvé les mèmes formes de solutions que toi.Le but est de trouver deux rationnels z et t qui satisfassent aux contraintes demandées......ou de trouver une démonstration simple qu'il n'en existe aucun.
Par exemple prouver que:

4*t+(t^2*z^2)-4*t*Sqrt(1+t*z^2) et
4*t+(t^2*z^2)+4*t*Sqrt(1+t*z^2 )

ne peuvent ètre les carrés parfaits de deux rationnels en mème temps.
Pour résumer dans ce problème nous avons deux niveaux de contraintes,il me semblerait plus facile d'examiner les conditions de possibilité de ce dernier en déterminant en premier lieu si les deux niveaux de contraintes sont compatibles.
Si on arrivait toutefois à déterminer deux solutions à ce problème,il faudrait les mettre "sous globe" car les solutions à ce genre de problème ne doivent pas courir les rues!!
Il existe toutefois une solution par des méthodes informatiques,c' est l'exploration systématique de toute une bande de rationnels pouvant éventuellement faire l' affaire mais pour cela,je pense qu'il faudrait au minimum "dégrossir" le problème sans quoi le champ à explorer serait trop vaste....
Si toutefois quelqu'un a une idée pour créer un code source pour "mathematica" qui permettrait de tester des rationnels dans une bande donnée,qu'il me fasse signe...
N' oublions pas que c'est par ce genre de méthode que Lander et Parkin ont réussi en 1965 à invalider la Conjecture d'Euler pour les puissances cinquièmes,à savoir l'égalité:

27^5+84^5+110^5+133^5=144^5

Merci d'avance pour les réponses

Cordialement le fouineur