Application des maths : association de deux populations par intérêts

[invite9f3c4ee1]

Bonjour à tous,

Je voudrais savoir si l'un ou l'une d'entre vous serait en mesure de me fournir quelques éléments me permettant d'avancer dans mon projet :

Prenons deux groupes de population : le groupe A (de 100 personnes) et le groupe B (de 10 personnes).

L'objectif est d'associer chaque personne du groupe A à une personne du groupe B.

Cette association se fait selon les critères suivants :
- Les personnes du groupe A vont sélectionner N (entre 1 et 25) critères parmi une liste de 25 critères.
- Les personne du groupe B vont parmi les 25 critères, en choisir 10 et les classer de 1 à 10 (1=le meilleur, 10=le moins bon des 10)

L'objectif est de trouver un modèle qui permette d'associer les 100 personnes du groupe A aux 10 personnes du groupe B en fonction des critères sélectionnés des deux côtés, en sachant qu'il faut qu'il y ait une répartition relativement équitable dans la taille des groupes.

Je vous avoue que je sèche un peu... L'un d'entre vous aurait-il quelques pistes de réflexion?

Merci d'avance!

Damien
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[Dlzlogic]

Bonjour,
C'est assez amusant votre question. Tout d'abord, il me parait intéressant de préciser certains termes.
Pourriez-vous expliciter le terme "associer ...".
Les 25 critères sont-ils indépendants ou non ? C'est à dire si une personne choit le critère C1, peut-on prévoir qu'elle choisira le critère C2 ? Exemple critère C1 : aime les animaux ; C2 : aime la campagne.
Avant de parler de "modèle" comment comptez-vous traduire en langage mathématique le choix d'un critère par une personne ?
Bien-sûr ce ne sont que des pistes.
Je suppose que c'est un exercice, donc, je n'en dirai pas plus.

[choom]

Bonjour.
Votre exercice m'amuse. Je vous en propose une solution qui essaie de respecter également une exigence que vous n'avez pas exprimée mais que j'interprète comme tacite : tendre à regrouper le plus possible les personnes partageant les mêmes affinités positives pour le plus grand nombre de critères. Elle consiste en les étapes suivantes.

1. Dans un tableau ( matrice ) que l'on appellera "AFB" pour Affinités du groupe B vous rentrez 25 lignes de 10 nombres. AFB( c, j ) représente la PRIORITÉ entre 1 et 10 qu'attribue au critère c la j ième personne du groupe B. Pour un critère non retenu vous entrez la valeur 11 pour respecter la priorité décroissante. Pour des raisons qui vont paraître évidentes ensuite, vous remplacez dans cette matrice chacune de ces priorités par leur complémentaire par rapport à 11. Soit remplacez 11 par 0, 10 par 1, ...et 1 par 10. Désormais AFB( c, j ) représente la VALEUR entre 0 et 10 qu'attribue au critère c la j ième personne du groupe B.

2. Dans un tableau ( matrice ) que l'on appellera "AFA" pour Affinités du groupe A vous rentrez 100 lignes de 25 nombres. AFA( i, c ) représente la VALEUR 0 ou 1 qu'attribue la i ième personne du groupe A au critère c.

3. Vous multipliez les matrices en suivant le produit matriciel, AFA X AFB et obtenez une matrice "Affinité" de 100 lignes et 10 nombres. Affinité( i, j ) = la somme des 25 produits AFA( i, c ) x AFB ( c, j ) pour c allant de 1 à 25 rend une des possibles expressions du degré d'affinités communes entre la i ième personne du groupe A et la j ième personne du groupe B.

Dans cette matrice Affinité, il vous reste à retenir pour chaque colonne ( =pour chaque personne j de B ) 10 lignes sélectionnant en fait les 10 personnes du groupe "A" qui seront réunies pour avoir le plus d'affinités avec cette personne j. Pour répartir de manière équitable les affinités entre tous en risquant le moins possible de terminer le travail avec quelques personnes dont les affinités sont très peu partagées, procéder comme suit :

a. Choisissez la ( ou l'une des ) colonne(s) totalisant le MOINS d'affinités sur l'ensemble des lignes.( utilisez un tableur...)
b. Retenez la ( ou l'une des lignes ) ayant dans cette colonne la plus grande valeur d'affinités communes.
c. Notez ce couple ( i, j ) à part, et supprimez cette ligne entière de votre tableur.
d. Recommencez les points a., b., et c. 99 fois.

Bien cordialement.
Christian

[invite9f3c4ee1]

Merci pour vos réponses, ce n'est pas un exercice, c'est un modèle que j'essaie de mettre en place pour un cabinet de conseil (la version que j'ai présentée est bien entendu simplifiée, mais elle permet de bien cerner le problème et sa résolution).

@Dlzlogic : Parmi les 25 critères, on peut considérer que certains ne sont pas indépendants, si une personne en choisit un, elle aura plus de chances d'en choisir un autre. On peut considérer qu'il y a 16 critères indépendants, et 3 groupes de 3 critères relativement proches.

@Choom : Effectivement, c'est une exigence que j'ai oubliée de mentionner. Je vais étudier votre proposition et essayer de la simuler, merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9dc7b526]

Peut-être des idées à glaner ici : https://en.wikipedia.org/wiki/Stable_marriage_problem (ce n'est pas exactement le même problème)

[Dlzlogic]

Bonjour,
Votre problème est vraiment intéressant.
Chaque personne du groupe A choisi N critères de façon binaire. Il y a 16 critères indépendants et 3 groupes de 3 critères liés. On pourrait considérer que ces 9 critères ont un poids = 2/3 et les 16 autres un poids = 1.
Quelle interaction avec les 10 critères choisi par les personnes du groupe B ?
Chaque personne du groupe B a choisi 10 critères notés 1 à 10, parmi les 25.
Les 25 critères ont été choisis et ont chacun une note. La note minimum est 0 (ça n'intéresse personne) la note maximum est 250 (ce critère est le premier pour les 10 personnes du groupe B - voir complément à 11). On classe ces critères suivant leur note.
Il faut trouver un "nombre caractéristique" pour chaque personne du groupe B. La somme est forcément 1+2+3+…+10 = 55. On pourrait essayer avec la somme des rangs des 25 critères choisis. Cad somme(Ci) pour i=1 à 25 et Ci le rang de la note du critère i .
En conclusion, les 10 personnes du groupe B ont chacune un nombre caractéristique.

Les 100 personnes du groupe A ont coché N critères. On peut calculer le "nombre caractéristique" de chacune de ces personnes par une moyenne pondérée, comparable au nombre caractéristique des personnes du groupe B.

J'ai une première version qui fonctionne. Je fabrique des jeux d'essais aléatoires et les résultats sont satisfaisants.
Donc, à votre disposition pour en parler.
Bonne soirée.

[Dlzlogic]

Voila une impression, avec seulement les 20 premiers du groupe A

A 1 X X X X X X X X X X X
A 2 X X X X X X X X X X X X
A 3 X X X X X X X X
A 4 X X X X X X X X X
A 5 X X X X X X X
A 6 X X X X X X
A 7 X X X X X X X X X X X X
A 8 X X X X X X X X X X X X
A 9 X X X X X X X X X
A 10 X X X X X X X X X X X X X
A 11 X X X X X X X X
A 12 X X X X X X X X
A 13 X X X X X X X
A 14 X X X X X X X X X
A 15 X X X X X X X X X
A 16 X X X X X X X X X
A 17 X X X X X X X X X X
A 18 X X X X X X X X X X X X X X X X
A 19 X X X X X X X X X X
A 20 X X X X X X X X X X X

B 1 8 10 5 3 9 2 7 4 1 6
B 2 9 5 3 7 8 6 4 1 2 10
B 3 5 9 1 8 6 3 4 2 10 7
B 4 2 8 3 4 1 6 7 10 9 5
B 5 8 1 7 2 6 9 5 3 10 4
B 6 7 3 8 10 1 5 2 6 9 4
B 7 8 3 7 5 4 10 1 9 6 2
B 8 5 9 6 2 1 7 10 8 3 4
B 9 3 5 9 2 4 10 8 6 7 1
B10 4 5 9 8 7 6 2 10 3 1
25 38 20 18 21 24 25 10 27 7 12 11 14 23 31 43 23 6 38 5 32 15 29 35 18
15 1 18 23 20 14 22 8 0 6 5 13 16 4 2 3 24 21 12 10 11 7 9 17 19

Les nombres caractéristiques des personnes du groupe B
734 694 690 623 661 566 690 623 480 953
Somme=6714 Moy=671

Nombre caractéristique = 568 assicié à 5 (566)
Nombre caractéristique = 729 assicié à 0 (734)
Nombre caractéristique = 439 assicié à 8 (480)
Nombre caractéristique = 651 assicié à 4 (661)
Nombre caractéristique = 369 assicié à 8 (480)
Nombre caractéristique = 274 assicié à 8 (480)
Nombre caractéristique = 522 assicié à 8 (480)
Nombre caractéristique = 700 assicié à 1 (694)
Nombre caractéristique = 514 assicié à 8 (480)
Nombre caractéristique = 497 assicié à 8 (480)
Nombre caractéristique = 249 assicié à 8 (480)
Nombre caractéristique = 390 assicié à 8 (480)
Nombre caractéristique = 414 assicié à 8 (480)
Nombre caractéristique = 452 assicié à 8 (480)
Nombre caractéristique = 663 assicié à 4 (661)
Nombre caractéristique = 568 assicié à 5 (566)
Nombre caractéristique = 448 assicié à 8 (480)
Nombre caractéristique = 696 assicié à 1 (694)
Nombre caractéristique = 518 assicié à 8 (480)
Nombre caractéristique = 456 assicié à 8 (480)

Désolé, je ne sais pas comment adopter la largeur fixe pour le texte. Donc, c'est pas très lisible.

[choom]

@Damsaon67, bonjour. La solution que j'ai proposée maximise entièrement la satisfaction des 10 personnes du groupe B, au détriment des 100 du groupe A. En effet, dans chacun des groupes de 11 formés, le seul point commun aux 10 de A est qu'elles ont toutes au moins un point d'intérêt commun avec "leur personne de B"
mais rien hélas n'est fait pour qu'elles aient des points d'intérêts communs entre elles 10.
Si cette dernière exigence est également à prendre en considération, faites le savoir : je suis certain d'avoir une solution pour cela également, ainsi que, si besoin, pour rendre moins fastidieux des essais, vu la taille de votre échantillon.
Bien cordialement.
Christian