Théorème de convergence dominée pour paramètre réel

[invite8f6d0dd4]

Bonjour,

J'ai une question en lien avec le T.C.D.

Soit (fn) une suite de fonctions sommables.
Si |fn|<|g| avec g sommable, alors lim int{fn} = int lim{fn}

Si maintenant j'ai une "suite" de fonctions qui dépendent d'un paramètre réel .

Si on a sommable et majoré par une fonction indépendante de , alors on peut aussi intervertir limite et intégrale.

Je voudrais juste comprendre pourquoi le théorème avec les suites de fonctions implique celui avec un paramètre réel.

Est-ce qu'on peut le voir comme cela ?

Supposons que tende par valeur positive vers 0 par exemple.

Si et sommable, alors suite à valeurs positives tendant vers 0, on a et sommable.

Donc je peux appliquer le TCD à .

Donc j'ai :



Et vu que c'est vrai pour toute suite Un tendant vers 0, c'est vrai pour tout epsilon tendant vers 0 par caractérisation séquentielle de la limite.

Donc j'ai :



Est-ce que je fais est propre ou je fais une erreur (je ne parle pas de la conclusion car je sais qu'elle est juste, mais plus du raisonnement).

Autre question : Admettons que j'arrive à avoir la majoration d'une fonction intégrable non pas pour tout epsilon, mais uniquement pour epsilon compris dans un intervalle [0;M], l'interversion est toujours possible n'est-ce pas ? Car ça revient juste à définir sur un intervalle plus restreint vis à vis de la première variable mais le raisonnement resterait le même (je prendrai cette fois des suites à valeurs dans [0;M]).

Pourriez vous me dire si ce que je dis est correct.

Merci.
-----

[invite23cdddab]

Ça me semble tout ce qu'il y a de plus correct

[invite8f6d0dd4]

Génial, merci !