Utilisation du théorème de convergence dominée

[invitec1855b44]

Bonjour ,
je suis en train d'étudier l'intégrale de LEbesgue , essayant de combler quelques lacunes , et je bloque sur un exercice d'utilisation du théorème de convergence dominée.
On considère la suite de fonctions si et 0 sinon.
En premier lieu je n'arrive pas à trouver la limite de la suite
Avec Maple , je pense que ça converge vers x:->exp(-x) mais je n'arrive pas à le prouver; Quelqu'un pourrait t-il me donner un indice sur comment procéder ?

Ensuite , je n'arrive pas à trouver un majorant sommable de . On me dit d'utiliser l'inégalité ln(u) =< u- 1
J'ai donc renversé cette inégalité , pris l'exponentielle , et j'ai posé u = x/n mais le majorant de fn que je trouve est encore dépendant de n , ce qui est un sacré problème... et là aussi je bloque. Pour les autres suites proposées , j'ai réussi mais celle-là me résiste.
Merci d'avance pour vos réponses , je vous en serais vraiment reconnaissants
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[invite57a1e779]

Toutes les questions se résolvent par l'intermédiaire de lorsque est non nul.

[invitec1855b44]

Hum la fonction est mal passée. C'est

[invite57a1e779]

Ce qui ne change en rien mon indication...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec1855b44]

J'avais essayé mais je n'y arrive pas... Voilà comment j'ai fait.
J'essaye de prouver que la limite de m suite c'est x->exp(-x)

Donc je veux prouver que à fixé.
Or et là je ne sais pas aller plus loin... J'ai grosso modo le même problème pour trouver mon majorant.

[invite57a1e779]

Et avec un petit développement limité de ?

[invitec1855b44]

OK merci j'avais même pas pensé au développement limité
Merci pour tes indications