Grand théorème de Fermat/Andrew Wiles et équations de ce type

[invite2ed02f7e]

Bonsoir, je ne poste pas pour demander une aide, mais une question me turlupine (simple curiosité).

Andrew Wiles a démontré le théorème de Fermat plus de trois siècles après sa mort, qui stipule que pour n>2, il n'existe pas de solutions entières non-triviales à l'équation x^n + y^n = z^n. Je remarque que pas mal de gens ont exhibé des exemples d'équations similaires, en prenant n=3, mais en prenant des quadruplets d'entiers au lieu de triplets, et trouvant des solutions.

Ma question est simple : est-ce qu'on a démontré que si on prend une puissance n et un n+1 uplet pour former l'équation sur le même modèle, on a forcément une solution? Si oui où trouver la démonstration? Une simple démonstration par récurrence dans laquelle interviennent d'autres choses?

Ou alors a-t-on démontré qu'il y avait une limite (du genre n=3 ou n=4) à ça (contre-exemple)?

Question subsidiaire : qu'en est-il pour la même équation avec des matrices d'entiers (mais non-nulles ni matrice unité), diagonalisables, pas diagonalisables? (Pas trigonalisables dans R?)

Je m'excuse d'avance si jamais vous trouvez que je n'ai pas pris assez de temps pour m'y intéresser et avancer des résultats, ma curiosité m'ayant un peu dispersé (et ma survie impliquant d'autres activités (: ). Et je vous remercie d'avance pour qui détiendrait des réponses (n'ayant pas très bien trouvé sur internet) ou voyant une réponse simple.

P.S. : et a-t-on démontré le théorème de Fermat/Wiles pour une puissance n et un n-uplet (au lieu d'un n+1 uplet)? (Ou le contraire avec un contre-exemple?)
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[invite75a796c1]

Salut,

de ce que j'en sais, c'est loin d'être démontré. Il n'y a pas de récurrence en vue.

On voit facilement qu'en augmentant le nombre d'éléments à puissance constante, on finit toujours par trouver des solutions. Des spécialistes recherchent des solutions minimales tant en nombre d'éléments qu'en valeurs pour des puissances particulières en utilisant des heuristiques et de la force brute ...

Sur le site d'Euler, vous avez le point des résultats. Il y a aussi un outil en téléchargement sur ce vieux site archi connu ( et donc fiable )

[invite9dc7b526]

P.S. : et a-t-on démontré le théorème de Fermat/Wiles pour une puissance n et un n-uplet (au lieu d'un n+1 uplet)? (Ou le contraire avec un contre-exemple?)

Euler a conjecturé que la somme de (n-1) puissances n-ièmes n'était jamais une puissance n-ième, pour n>2. Si on se limite aux puissances premières, cela revient à dire que la somme de n puissances n-ièmes d'entiers (non nuls) n'est jamais nulle.

[invite75a796c1]

Euler a conjecturé que la somme de (n-1) puissances n-ièmes n'était jamais une puissance n-ième, pour n>2. Si on se limite aux puissances premières, cela revient à dire que la somme de n puissances n-ièmes d'entiers (non nuls) n'est jamais nulle.

Pourriez vous expliciter votre dernière phrase.
J'avais compris qu'Euler l'avait proposée mais qu'ensuite la conjecture a été invalidée à cause de 4 et 5.
Pour 8 , c'est une variante qui a des solutions.

Les voici reprises du lien Euler ci dessus :

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9dc7b526]

ah oui effectivement je n'étais pas à jour... et la conjecture d'Euler a un certain nombre de contre-exemples.