Orthonormer une famille

[invitec83c19f1]

Bonjour,

lorsque j'essaye de résoudre mon exercice, je suis assez rapidement bloqué:

on a les vecteurs v1 (1,1,1), v2 (0,1,1) et v3 (0,0,1), lorsqu'on utilise le procédé de Gram-schmidt pour calculer w1,w2 et w3, nous obtenons w1 (1,1,1), w2 (-, ,) et w3(0, ,).

Jusque là tout va bien, sauf que lorsque je veux normaliser la famille orthogonale, je n'y arrive pas. je pense que je ne parviens juste pas à trouver la norme des vecteurs et c'est ce qui pose problème, la norme n'est-elle pas tout simplement ?

Lorsque j'essaye de normaliser la famille en divisant w1 par sa norme, w2 par sa norme et w3 par sa norme, je ne parviens pas à trouver les réponses correctes Z1 (1/racine 3, 1/racine 3, 1/racine 3 ), Z2 (-2/racine 6,1/racine 6, 1/racine 6) et Z3 (0, -1/racine 2, 1/racine 2), (désolé pour le format des réponses mais je ne parviens pas à mettre fraction + racines en même temps :s) quelqu'un pourrait-il m'expliquer cette dernière étape ? Je ne comprends vraiment pas d'où sortent de tels dénominateurs..
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[Resartus]

Bonjour,
Vous ne dites pas où est votre problème... mais les nombres fournis sont corrects.

La norme de w1 est bien racine(1²+1²+1²) soit racine(3) et donc Z1 vaut bien (1,1,1)/racine(3)

Idem pour W2 dont la norme est racine(4/9+1/9+1/9) soit racine(6/9) ou encore racine(6)/3.
Pour Z2 on a donc -2/3/(racine(6)/3) soit -2*3/3/racine(6) soit -2/racine(6) etc.

Dans ce dernier cas, j'espère que ce ne sont quand même pas les manipulations de fractions (niveau lycee) qui vous posent problème..

[invitec83c19f1]

On calcule la norme par rapport à W ? Je pensais que c'était par rapport à v (je me suis fait avoir vu que v1 = w1 )...

[gg0]

Bonjour.

On veut normer quoi ? C'est à toi de décider, mais tu as dit "lorsque je veux normaliser la famille orthogonale..."; donc tu parles des w, pas des v.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec83c19f1]

Ah d'accord, merci !

Et une autre question concernant un autre sujet (pour éviter de rouvrir une autre discussion) : Comment reconnait-on une famille génératrice? J'ai pas trop compris les étapes en fait.. J'ai compris qu'on pose alpha et beta qu'on isole pour déterminer leurs valeurs par rapport à x et y, mais dans quels cas peut-on se dire 'il s'agit d'une famille génératrice' ?

Exemple :

on dispose des vecteurs (1,1) et (2,1), en posant lambda et gamma, on trouve que alpha = 2y - x et que beta = x - y. Sauf que je ne comprends pas la suite ! En gros dans le cours on a mi (0,1) = 2 * (1,1) + (-1) * (2,1)
Pourquoi fait-on ça ? On est obligé de voir si on peut calculer (0,1) pour déterminer s'il s'agit d'une famille génératrice ? (Car je ne vois pas d'où on sort (0,1) ni 2 et -1 qui représentent alpha et beta, je suppose donc qu'il s'agit simplement d'un exemple, mais peut-on voir si la famille est génératrice avant ça ou bien est-ce nécessaire de trouver un exemple?)

[gg0]

Au lieu de te poser des questions de détail, revois la définition, et mets-la en œuvre : Une famille est génératrice si tout élément de l'espace vectoriel est combinaison linéaire des éléments de la famille.
Dans l'espace vectoriel E, la famille (u,v,w,z) est génératrice si quel que soit l'élément x de E, on peut trouver des coefficients a, b, c et d tels que x=a.u+b.v+c.w+d.z; prouver qu'elle est génératrice, c'est prendre un élément quelconque de E, puis justifier qu'on peut trouver les coefficients. Après, les détails dépendent de l'espace vectoriel en cause, et n'ont pas trop d'importance.
Quant à ce qui est dans ton cours, si tu n'as pas suivi l'explication du prof, c'est trop tard pour savoir ce qu'il voulait faire. mais à partir du moment où on a trouvé que dans tous les cas on trouve des coefficients, c'est fini. Si je comprends bien ce que tu as écrit, c'est fini après "et que beta = x - y". S'il y a des calculs ensuite, ce n'est plus la preuve que (1,1) et (2,1) engendrent R².
Tu dois parfaitement savoir et comprendre les définitions de base. Sinon, tu ne peux même pas comprendre les exemples.

Cordialement.