Famille Libre , Famille generatrice

[invite0f3e670f]

Bonjour ;
j'ai une question qui me dit de determiner si les propoitions sont vrai ou fausse
et je doute de ma reponse pour une certaine proposition qui dit
UNE FAMILLE LIBRE DE R^3 EST TOUJOURS UNE FAMILLE GENERATRICE DE R^3

ma reponse fut : Faux , et ma justfication fut : pour que cela soit vrai il faut que le cardinale de la famille libre soit egal à la dimension de R^3 donc egal à 3 pour qu elle soit generatrice

MA REPONSE EST BONNE ? ou suis-je entrain de dire n'importe quoi ?

Je suis une debutante et pas tres douée ! Aidez moi SvP ! Merci d'avance !
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[invite8ac20103]

Bonjour,

En effet, pour générer R³ il faut au moins 3 vecteurs. Si vous avez exactement 3 vecteurs libres de R³ alors ils forment une base de R³, donc une famille génératrice de R³.

Donc un contre exemple simple pour la proposition:

e₁(1.0.0) et e₂(0.1.0) sont libres mais n'engendre pas R³ car e₃(0.0.1) est un vecteur de R³ ne s'écrit pas comme combinaison linéraire de e₁ et e₂.

Cdt