Différentielle et f(x + tu)

[invitea2257016]

Bonjour à tous!

Voila actuellement étant en train d'étudier la notion de différentielle d'une fonction, j'ai vu que pour une fonction , on peut définir sa différentielle en x comme étant sa dérivée fonctionnelle en x dans la direction u qui correspond à et comme étant la dérivée en 0 de la fonction .

Maintenant que les hypothèses sont posées j'ai plusieurs questions:

1)Que représente la fonction ?

2)Une propriété nous dit que la différentielle seconde correspond à la dérivée seconde de en 0 et donc pour cela il faut d'abord calculer . Donc on dérive d'abord une fois et on a . Ce que je ne comprends pas quand je fais l'analogie avec la dérivée, c'est que pour obtenir la dérivée seconde en un point on détermine la fonction dérivée seconde et je suis d'accord on ne dérive pas directement la dérivée première en un point car la dérivée est un nombre. Mais pour la différentielle seconde pourquoi doit-on passer par (d'ailleurs que représente-elle cette fonction ) et surtout pourquoi correspond-t-elle à la dérivée directionnelle () de (alors que normalement une différentielle correspond à la dérivée de en 0) et pas , car après tout l'on veut la différentielle seconde de f en x donc on veut la différentielle de la différentielle de f en x: . Même si je reconnais que la différentielle d'une différentielle est elle même car c'est une application linéaire.
Voila je ne sais pas si j'ai été clair mais c'est surtout au niveau de cette fonction que j'aimerai savoir ce qu'il se passe.

Merci d'avance
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[invite0a45097e]

Bonsoir.

1) alors la fonction dont tu parles n'est définie qu'au voisinage de 0. On prend t de IR tel que x+tu reste dans U. Ce qui n'est pas forcément le cas pour tout t de IR.

2) Je ne comprends pas très bien ce que tu ne comprends pas. XD ... ce que je peux te dire :
la différentielle seconde de f en x suivant les direction u et v s'écrit : D²f(x)(u)(v) = D( Df(x)(u) )(v) = D( df/du(x) )(v) ... c'est donc la différentielle de la dérivée directionnelle de f en x dans la direction u. Elle te donne la variation dans une direction donnée (ici v) de la variation de f en un point (ici x) dans une direction donnée (ici u).
Donc quand tu me dis que tu calcules la dérivée seconde de "phi" en 0 ca revient à calculer la variation dans la direction u de la variation suivant u de f en x. Personnellement, pour calculer la différentielle seconde j' utilise la matrice hessienne de f en x. il est plus simple de faire un calcul matriciel que d'effectuer deux calculs de limite.

[invitea2257016]

Je crois que j'ai compris en fait. Ton explication était vraiment bonne.
a)Si j'ai bien compris la différentielle seconde est la dérivée directionnelle de la différentielle, ce qui signifie que la différentielle correspond à , c'est bien cela?
Mais alors dans ce cas là, ce que je comprends pas c'est que lorsqu'on calcule la dérivée directionnelle d'une fonction on agit sur ses paramètres, à savoir ses composantes. Or d'après cette définition qui a l'air de suivre ce que tu m'as expliqué, on n'agit pas sur les paramètres de la différentiel qui correspond a la 2eme paire de "()" dans mais on agit sur la première paire de "()": (x + tu), or ils ne représentent pas les paramètres envoyé à la fonction. Je sais pas si vous m'avez compris?

b) De plus, dans mon cours j'ai bien mais pourquoi on doit garder le même vecteur u dans (x + tu) et (u) (variable de la differentielle)? Je sais que toutes mes questions sont bizarres, j’espère que vous me comprenez.

c)Peut on dire que la différentielle de f en x et de paramètre le vecteur u c'est la dérivée directionnelle de f en x et de direction u?

Merci d'avance

[invite0a45097e]

a) La première limite est correcte. C'est la différentielle seconde de f en x dans les directions u et u.

Pour répondre à ta question sur les paramètres, quand tu calcules la dérivée directionnelle de g en un point, il te faut une direction (par exemple u) et un paramètre (et le seul paramètre, t par exemple) afin de calculer la valeur de la limite en 0 du quotient de g(x+tu) - g(x) par t. Tu n'agis ici que sur une seule parenthèse si on peut dire.
Donc dans ta première limite la seconde parenthèse (u) n'est pas un paramètre mais est déjà fixé. En effet, ici g = Df(x)(u) qui est la fonction x -> df/du(x), la dérivée de f dans la direction u au point x. Il faut faire attention : u est la variable de l' application linéaire Df(x) alors que x+tu est un point de IRⁿ pour la fonction Df(.)(u) = df/du(.)

b) La différentielle seconde de f en un point peut se calculer dans deux directions. Fais des recherches et tu verras que garder u dans x+tu revient à un cas particulier : la différentielle seconde de f dans les directions u et u. La différentielle seconde de f en x dans les directions u et v se calculent en étudiant la limite en 0 du quotient de Df(x+tv)(u) - Df(x)(u) par t. Toi tu étudies le cas particulier v = u qui est ta question a)

c) C'est exactement l'interprétation de la différentielle d'une fontion.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea2257016]

Tu expliques vraiment bien, je crois avoir compris.

En gros on peut interpréter la différentielle comme une "fonction à 2 vecteurs" car elle prend 2 vecteurs "en entrée" qui bougent tous les 2: un qui représente le point en lequel on calcule la différentielle: (par exemple on différencie au point ) et un qui représente les variation infinitésimale de en : . Quand on différencie la différentielle par rapport à ça nous redonne la même différentielle car c'est une application linéaire mais si on la différencie par rapport a , on différencie en fait la fonction différentielle (qui représente la différentielle en un peu comme pour les dérivées des fonction de dans on dérive la fonction dérivée qui correspond à la dérivée ).
Au passage ce que j'appelle la fonction différentielle, elle ce n'est pas un application linéaire c'est bien cela?

Merci beaucoup

[invite0a45097e]

C'est l'idée oui !! Il faut juste faire attention aux fonctions qu'on utilise. Comme tu l'as compris, elles ne sont pas les mêmes mais elles te donnent le même résultat.

Df(x) est une application linéaire. A supposer que f soit différentiable en x dans toutes les directions autour de x
Df(x) : IRⁿ -> IR
u -> Df(x)(u)
te donnera la variation de f en x dans la direction u souhaitée.

L'application Df(.)(u) est la dérivée de f dans la direction u. Cette fois, à supposer que f soit dérivable en tout point x de U dans la direction u
Df.() IRⁿ -> IR
x -> Df(x)(u) = df/du(x)

Comme on peut le voir, les ensembles de départ sont les mêmes mais ils ne représentent pas la même chose. Dans le premier c'est une direction dans le deuxième c'est un point. Ca dépend de la fonction considérée.

[invitea2257016]

Ah oui c'est ce qu'il me semblait avoir compris!!
Mais juste quand tu écris tu veux dire la dérivée directionnelle de f en x dans la direction u c'est ça? Parce que sinon ca n'existe pas il me semble.

[invitea2257016]

Veuillez m'excuser pour le double post je vous prie.
Dans ce cas si est bien la dérivée directionnelle, je savais déja que cette dérivée directionnelle vaut:
, mais est ce qu'elle vaut aussi ça:
, par analogie avec la dérivée pour les fonction de

[invite0a45097e]

En fait df/du(x) est une notation que j'ai vu en cours. Je ne l'ai jamais vu dans un bouquin mais si mon prof l'a mis c'est qu'elle doit exister mais ne doit pas être très répandue.

Mhhh dans la dernière limite que tu as écrit, u n'est pas une direction mais un point de U. Or f étant une fonction à plusieurs variables, il te faut obligatoirement définir une direction pour en calculer la dérivée, puisque par définition, la dérivée d'une fonction à plusieurs variables est une dérivée directionnelle.

[invitea2257016]

Merci.
Pourtant en terme de limite je crois que le calcul de la 2eme limite donne la même chose que le calcul de la 2eme.
Alors comment réécrire la premiere limite pour qu'elle ressemble à la 2eme stp?

Merci d'avance

[invite0a45097e]

En revenant à la définition de la différentielle tu as :
f : IRⁿ--> IR est différentiable en a si, pour tout h non nul tel que a+h appartienne toujours à U, il existe une application linéaire Df(a) : IRⁿ--> IR telle que :
lim[ ( f(a+h) - f(a) - Df(a)(h) ) / ||h|| ] = 0 quand h tend vers 0.

En faisant le changement de variable x=a+h, la précédente limite s'écrit :
lim[ ( f(x) - f(a) - Df(a)(x-a) ) / ||x-a|| ]= 0 quand x tend vers a.

L'analogie que tu peux faire, c'est que la différentielle d'une fonction à plusieurs variables est l'extension de la notion de dérivée des fonctions de IR -> IR.

[invitea2257016]

D'accord, merci beaucoup je pense avoir tout compris.
En fait pour récapituler quand on dit la différentielle en x, il s'agit de la fonction c'est à dire un ouvert de . A ne pas confondre avec la fonction que l'on pourrait appeler la fonction différentielle (comme on appelait la fonction dérivée qui est différente de la dérivée de en ), qui attribut à un x une application linéaire, c'est bien cela?
Donc si je comprends bien en fait la dérivée directionnelle c'est l'équivalent de la dérivée pour une fonction à plusieurs variables, et il se trouve qu'elle est égale à où est fixé, donc n'est plus une fonction mais un nombre. Est ce bien cela?

Merci

[invitea2257016]

Je voulais dire

où est fixé, donc n'est plus une fonction mais un vecteur

[invite0a45097e]

C'est ca oui.
et Df(x)(u) est un nombre si f est à valeurs dans IR et u vecteurs si elle l'est dans IR^p.

[invitea2257016]

Merci beaucoup pour toutes tes explications ca m'a vraiment permis de bien comprendre. Je me suis rendu compte au passage que mon maitre de conférence de Calcul Différentiel nous avait vraiment fait un cours très nul ou rien n'est expliqué il s'agit juste d'un enchainement de formules et de démonstrations. J'ai emprunté un livre de calcul différentiel chez ellipses qui explique vraiment bien tout un peu comme tu me l'as expliqué.

[invited7e4cd6b]

on peut définir sa différentielle en x comme étant sa dérivée fonctionnelle en x dans la direction u qui correspond à et comme étant la dérivée en 0 de la fonction .

Bonsoir,
J'aurais juste une remarque sur ce que tu viens de dire. Cette définition n'est pas toujours vrai. En effet, n'est pas toujours linéaire en x.
Cela est vrai si ta fonction est différentiable, et donc il faut vérifier que la différentielle existe.

Pour la différentielle seconde, elle est un peu tordu je pense car: si la différentielle première est comme un produit scalaire du gradient de la fonction si tu connais, la différentielle seconde est en fait une forme quadratique et donc n'a pas la même nature que la première: il ne faut pas dire que c'est la dérivée seconde de ton en 0.

Je n'ai pas lu ce qu'ont dit les autres je le ferai tout de suite, et je m'excuse si je me répète ou si j'ai tort.

Bien cordialement,
Lwa7ch.

[invite0a45097e]

Bonjour.
Ca dépend du point de vue. Elle reste une application linéaire par rapport à v. C'est même de ce point de vue une forme linéaire. En effet, la différentielle seconde de f en x dans les directions u et v est :
D²f(x)(u)(v) = D( )(x)(v). C'est donc la différentielle première de en x et dans la direction v qui est une forme linéaire pour la variable v.
Mais D²f(x) est une forme bilinéaire puisqu'elle prend deux variables u et v et qu'elle est linéaire par rapport à ces variables. Elle devient une forme quadratique que si u = v.