Différentielle

[invite422da1e7]

Bonjour,
Dans le cadre de mon cours de math nous avons eu un problème physique avec application des différentielles,
je ne comprends comment résoudre l'equation différentielle par intégration.
De plus si je ne me trompe on résout une equation différentielle par inégration lorsque cette equation n'est pas une equation linéaire mais comment savoir si l'equation est linéaire ou non ?

le problème est le suivant :
Soit une citerne de forme cylindrique de hauteur H. Le fond (de surface S) qui consistute la base de ce cylindre est poreux et laisse s'échapper tout liquide stocké dans le cylindre à une vitesse v proportionnelle à la hauteur x du liquide présent dans le cylindre. On remplit cette citnerne à une vitesse constante i m3/heure. On demande
a) d'écrire l'equation différentielle à laquel obéit le volume de liquide présent à tout instant dans la citerne et la résoudre.

Donc vitesse = k . x(t)
je suppose que j'utilise l'equation a1 . v1 = a2 . v2
j'obtiens par conséquent S . (k . x(t)) = a2 . i m3/h
mais ensuite je suis déja bloqué je n'arrive pas à comprendre comment dois je obtenir l'equation différentielle que la prof veut (elle a donné l'equation à otbenir) qui est :
dV(t)/dt = i - kx(t) = i - (k/S) . V(t)

Ensuite comment résoudre par intégration cette equation et comment savoir que cette equation différentielle est non linéaire et que par conséquent je dois la résoudre par intégration ?

Merci d'avance pour vos réponses.
-----

[invitebaef3cae]

bonjour,

je ne vois pas où se situe votre soucis?

Pour établir l'équa. dif. on écrit:

variation de volume = ce qui rentre moins ce qui sort (je vous laisse traduire mathématiquement).

Et pour la résolution, c'est une équation linéaire du 1er ordre avec second membre.

PPJ

[phys4]

Bonjour,

Pour établir une bonne équation, il faut commencer par bien définir ses variables, le calcul introduit des k, des a sans dire de quoi il s'agit.
Au début nous connaissons H hauteur, S surface et le débit constant i.
la valeur k ne serait elle pas la constante de fuite?

Il n'est pas possible d'écrire une équation sans savoir ce que l'on écrit, exemple
Debit de fuite = Svx
Variation de volume dV/dt = i - Svx (différence des débits)
Hauteur dans le cylindre dx/dt = (1/S) .dV/dt = i/S - vx
Cette équation est linéaire puisque x et dx apparaissent au premier degré.
Je vous laisse essayer de résoudre.

Au revoir.

[invite422da1e7]

Pour l'equation ok, mais pour la résolution je bloque totalement car j'ai du mal à comprendre la résolution par intégration.

[A voir en vidéo sur Futura]

[phys4]

Il faut commencer par résoudre sans le terme constant dx/dt = - vx

Prendre la solution particulière , introduire x - x0 et t - t0 et mettre cette solution dans l'équation complète.

[invite422da1e7]

si j'utilise mon equation : dV(t) / dt = i - kx(t) => k ma constance de proportionalité
Sachant que le volume un un instant t est : v(t) = S x(t)
j'obtiens dV(t)/dt = i - k/S V(t)
Pour résoudre je fais
intégrale de V0 à V(t) ( dV(t)/V(t) = intégrale de t0 à t ( i - k/S dt )

Suis-je dans le bon ou pas du tout ?

[invite422da1e7]

rectification je fais intégrale de Vo à V(t) ( dV(t)/(i-k/S V(t) ) = intégrale de to à t ( dt ) et j'obtiens comme réponse
V(t) = S/k i - ( S/k i -V(0) exp^(-k/s t)
Merci pour votre aide

[invitebaef3cae]

ouh la non!!

je crois que vous ne connaissez pas vos équa dif et les règles sur les opérations dans les égalités!!!

je vais vous l'écrire plus clairement:



Vous cherchez la fonction V(t) donc pas besoin des x.

Vous résolvez puis la suite avec la solution homogène.

PPJ