différentielle

[invite371ae0af]

bonjour,

j'aurai besoin d'aide pour l'exo suivant:
f(x,y)= si (x,y) non nul
0 si (x,y)=0

on me demande si f est différentiable en (0,0)
je sais qu'on peut utiliser les dérivée partielles mais ici ca ne marche pas pour la dérivées en y je n'arrive pas à prouver qu'elle est continue

dans un bouquin j'ai vu que dxf(h)=f(x+h)-f(x) (dxf est la différentielle)et qu'il fallait déterminer le terme linéaire et regarder si le reste est un petit o
comment faire cela?

merci de votre aide
-----

[invite57a1e779]

Bonjour,

Pour savoir si est différentiable en , on commence par déterminer si elle admet des dérivées partielles en ce point :



Cela fournit la seule possibilité pour la différentielle en , l'application linéaire :



et il reste à prouver que :



pour conclure que est différentiable en avec : .

Ici, tout se réduit à : et tu as le choix de la norme (elles sont toutes équivalentes sur qui est de dimension finie).

[invite371ae0af]

pourquoi tout se réduit à

Ici, tout se réduit à : et tu as le choix de la norme (elles sont toutes équivalentes sur qui est de dimension finie).

[invite57a1e779]

On estime en faisant apparaître le terme linéaire et un «reste» avec un epsilon : .

Mais et le calcul des dérivées partielles établit que la seule partie linéaire possible est .

Il ne reste effectivement que : .

Mais le epsilon est soumis à une condition de limite ; cette condition fait intervenir une norme sur : tu dois donc décider de celle que tu vas utiliser.

Tu as le choix entre : , , et bien d'autres encore.
Du point de vue théorique, le choix est arbitraire puisque ces normes sont équivalentes.
Du point de vue pratique, une des normes peut conduire à des calculs plus sympathiques.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite371ae0af]

d'accord
mais en règle générale pour prouver qu'une fonction est différentiable on utilise plutôt l'existence et la continuité des dérivées partielles ou bien la méthode que tu cites?

[invite57a1e779]

Si les dérivées partielles sont continues au point x, on peut conclure directement que la fonction est différentiable en x.

Mais si les dérivées partielles sont discontinues en x, on est obligé de passer par la méthode utilisée ici : les dérivées partielles fournissent la partie linéaire éventuelle L de l'accroissement.

On écrit donc : f(x+h)-f(x)=L(h)+epsilon(h), avec f et L connus, ce qui permet le calcul de epsilon(h).
On vérifie si epsilon(h)/norme(h) tend vers 0 ou non lorsque h tend vers 0, et on conclut quant à la différentiabilité de f en x.

Dans ton problème, je n'ai pas calculé les dérivées de façon générale, et je ne sais pas si elles sont continues ou discontinues en (0,0).

Il serait peut-être plus simple de prouver que les dérivées partielles sont continues.

[invite371ae0af]

d'accord merci