Vérification d'1 démonstration du théorème d'Abel

[invited7e4cd6b]

Bonjour les gens,
Voila j'ai fais une démonstration du théorème d'Abel, et je souhaite voir si elle est juste ou pas.

Énoncé: Soit une série entière an Z^n (à coefficients complexes) de rayon de convergence égal à 1.
Si la série de terme général an converge, alors la limite quand x tend vers (1-) de la série entière existe et est égale à la somme de cette série.

Dem:

J'ai utilise la définition de limite:
Pour tout epsilon, Il existe un N entier et un Alpha réel, tel que pour tout n> N et pour tout x réel tq |x-1| < alpha on a | Sn(x)- Serie somme(0->inf)(an)|< epsilon.
(Sn est la série partielle de la série entière qui va de 0 a n.)
la série de terme general an converge donc le reste Rn tend vers 0, donc pour un N suffisamment grand on a Rn< epsilon'.
D'ou : | Sn(x)- Série somme(0->inf)(an)| <= | Sn(x)- Serie somme(0->n)(an)|+|Rn|<= | Sn(x)- Serie somme(0->n)(ak)|+ epsilon'.
Dans le terme en valeur absolue on a : | Sn(x)- Serie somme(0..n)(an)|= |Somme de k= (0..n) (ak(x^k-1))|
Puisque x <1 alors en valeur absolue: |x^k-1|<|x^n-1| donc on obtient cette forme:

|Somme de k=(0..n) (ak)| |x^n-1| +epsilon.
On a aussi pour epsilon'', il existe un reel r, et pour n suffisamment grand tq : |x-1|<r => |x^n-1|<epsilon'.

donc on a | Sn(x)- Série somme(0->inf)(an)| < epsilon. CQFD.

Ceci est juste?
Merci d'avance.
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[invite57a1e779]

J'ai utilise la définition de limite:
Pour tout epsilon, Il existe un N entier et un Alpha réel, tel que pour tout n> N et pour tout x réel tq |x-1| < alpha on a | Sn(x)- Serie somme(0->inf)(an)|< epsilon.

Problème dès la première ligne : quelle est la limite dont il est question ?

[invited7e4cd6b]

La limite de la série somme de 0 a n de (anZ^n)quand x tend vers 1-, et quand n est suffisamment grand. Elle est égale a la limite de Sigma(an) de 0 a l'infini qui converge par hypothèse.

[invite57a1e779]

la fonction a une limite unique lorsque tend vers par valeurs inférieures, et cette limite est , mais certainement pas .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited7e4cd6b]

oui c'est bien ça . J'ai fais une faute de frappe pour les indices c'est tout. Mais sinon est ce que la démo tient?

[invite57a1e779]

J'ai utilise la définition de limite:
Pour tout epsilon, Il existe un N entier et un Alpha réel, tel que pour tout n> N et pour tout x réel tq |x-1| < alpha on a | Sn(x)- Serie somme(0->inf)(an)|< epsilon.

Toujours la même remarque : ceci n'est pas la définition d'une limite, quelle qu'elle soit.

Je suis incapable de transcrire cette phrase sous la forme parce que que je ne sais pas ce que sont censés être a et b dans ta formulation.

Est-ce ? Mézalor, je ne vois pas ce que vient faire .

Est-ce ? Mézalor, je ne vois pas ce que vient faire .

Tu ne pourras pas espérer une démonstration correcte tant que tu ne seras pas capable de dire précisément quelle propriété mathématique tu essaies de transcrire.

[invited7e4cd6b]

J'essaierai de me montrer on ne peut plus clair.

Pour un epsilon quelconque positif, on doit pouvoir faire approcher n de + l'infini, et x vers 1 pour pouvoir majorer en valeur absolue:

"" - limite somme (k allant de 0 a l'infini) des ak ""par cet epsilon positif. donc c'est une limite qui fait tendre n et x respectivement vers +l'infini et 1-

[invite57a1e779]

Pour un epsilon quelconque positif, on doit pouvoir faire approcher n de + l'infini, et x vers 1 pour pouvoir majorer en valeur absolue

Non !!!

On ne peut pas faire deux choses à la fois ! Qui trop embrasse mal étreint.

Ou bien on fait tendre n vers l'infini, ou bien on fait tendre x vers 1, mais il faut choisir. On ne peut pas avoir le beurre et l'argent du beurre. Quant à la crémière...

[invited7e4cd6b]

Oui oui.
Mais dans les calculs, j'ai pose n en premier, pour qu'il soit supérieur a un certain N assez grand pour majorer les restes, et puis j'ai fais tendre le x vers 1-. Je penser que ca marche... En realite c'est le x qui tend vers 1-.

[invite57a1e779]

Non ça ne marche pas ! Si on écrit la limite de la fonction , on n'écrit pas la limite de la fonction : quand on change de fonction, on change la valeur de la limite et on change la valeur de .

Il faudrait réfléchir un petit peu.

Je note : , , , .

On sait que, pour tout entier , la fonction est polynomiale, définie et continue sur , mais on se limite ici à .

On sait que, pour tout entier : .

On sait que la série de terme général converge : .

On peut résumer les deux points précédents en : (1).

On sait que la série entière converge sur : (2).

On veut prouver que : .

Autrement dit, le résultat à démontrer est : (3).

Si on lit correctement (2), on voit qu'il s'agit de convergence simple de la série entière.
Si on compare (3) à (1), on voit que c'est un problème d'interversion de limites : il faut certainement envisager une convergence uniforme.

[invited7e4cd6b]

C'est bien ça.
La démonstration est classique.Ce que je voulais c'est savoir si l'on pouvait utiliser deux limites en une seule, mais apparemment non, comme vous l'avez dit. Je chercherai un contre exemple, comme ça on est réglo.
Merci tout de même.
A bientôt.