taylor avec fonctions

[invite371ae0af]

bonjour,

dans un exercice on me demande le développement à l'ordre 2 en (1,1) de f(x,y)=exp(x²-y)

je sais que f est de classe C2

dans mon cours la formule s'écrit comme ceci: h dans R^p
f(x+h)=f(x)+<gradf(x),h>+(1/2)<grad²f(x)h,h>+epsilon(h) avec epsilon(h)/||h||² tend vers 0 quand h tend vers 0
<...> produit scalaire et grad le gradient

comment appliquer cette formule ici?

merci de votre aide
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Il suffit d'écrire la formule matriciellement:

[invite371ae0af]

oui j'ai fais cela
mais par quoi on remplace h et k? et ou est passé le produit scalaire?

avec la formule que tu as écris tu trouves quoi?
dans le corrigé on doit trouver: (3/2)-2x+3x²-2xy+(1/2)y²
j'aurai encore une question pourquoi n'a-t-on pas le epsilon dans le corrigé?

[invite57a1e779]

Ton corrigé doit noter ce que je note .

Le gradient en est le vecteur : , son produit scalaire par le vecteur est le produit de matrices : .

Dans ton exerice avec :

Terme constant du développement limité :





Terme du premier ordre du développement limité :







Terme du second ordre du développement limité (j'ai oublié le facteur dans ma réponse précédente) :



Le développement limité est donc :

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

dans le corrigé on doit trouver: (3/2)-2x+3x²-2xy+(1/2)y²
j'aurai encore une question pourquoi n'a-t-on pas le epsilon dans le corrigé?

Cette réponse me paraît bizarre parce que f(1,1)=1 et non pas 3/2 pour le premier terme.

Il n'ya a pas le epsilon parce que le corrigé donne seulement la partie régulière du DL. Tant qu'il n'est pas écrit que f(1+x,1+y) est égal à cette partie régulière, il n'y a pas de problème, chacun sait qu'il faut alors rajouter le epsilon pour avoir l'égalité. Par contre s'ils écrivent l'égalité sans le epsilon, alors c'est une faute énorme.

[invite371ae0af]

je te remercie pour ton aide