Formule Taylor pour les fonctions composées

[invited5d7ec92]

Bonjour, je suis étudiant et pour les révisions de mes partielles j'ai des problemes sur les formules de Taylor pour les fonctions composées (soit quasiment toutes celle que l'ont va me donner).

Pouvez vous m'expliquer en prenant l'exemple d'une fonction toute bête: f(x)=exp(sin(x)) ,appliquer Taylor à l'ordre 4

si je ne veut pas dériver f 4 fois je peux utiliser le devellopement en series entieres de fonctions usuelles comme ceux de exponentielle :
exp(z)=somme de 0 a l'inf de (z^n)/(n!) (z appartenant aux complexes)
celui de la fonction sinus:
sin(x)=somme de 0 a l'inf (-1)^n (x^(2n+1))/((2n+1)!)

quel sera le résultat ?

c'est très mal présenté je suis désolé
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[invite0d9b859e]

Bonjour Shu luvs DOnutS,

Quand tu as une composée comme là, il te faut poser u=sin(x) et vérifier que (ce qui est le cas ici) pour pouvoir composer ta fonction.
Là, tu utilise le fait qu'en 0,
exp(u)=1+u++++o().
En remplaçant u par la formule de Taylor de sin(x) à l'ordre 4, c'est-à-dire
sin(x)=x-+o()
Là, quand tu composes, ne gardes que les termes de dgré inférieurs ou égaux à 4, donc tu as
exp(sin(x))=1+x-+-+++o(), soit
exp(sin(x))=1+x+-+o().
Voila, j'espère que c'est assez clair, bonne chance pour tes partiels

[invited5d7ec92]

Merci beaucoup