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formule de taylor avec reste intégrale



  1. #1
    369

    formule de taylor avec reste intégrale


    ------

    bonjour,
    j'aurai besoin d'aide pour l'exo suivant
    1) énoncer la formule de taylor avec reste intégral
    2) montrer qu'on peut trouver une fonction R(x) satisfaisant:
    sinx=x-(x^3/6)+R(x) avec pour tout x dans [0,1], <=R(x)<=x^5/2

    c'est la question 2 qui me pose problème

    j'utilise la formule précédente:
    dans cette formule j'ai effectué le changement de variable t=xu dt=xdu


    mais après je n'arrive pas à montrer que c'est compris entre 0 et x^5/2 car j'arrive à R(x)<=-x^5/120 qui est complète absurde en faisant -1<=cos(xu)<=1 et en multipliant pour arriver à R(x)

    pouvez vous m'aider?

    merci de votre aide

    -----

  2. #2
    Ieremenko

    Re : formule de taylor avec reste intégrale

    R(n) est positif car la dérivée 5ème de sinus est cosinus, positif pour x dans 0,1 ; et (x-t) positif car t dans 0,x. Le tout intégré sur 0,x ; avec x>0.

    Deuxième inégalité : je pense que tu as fait une simple erreur de signe.

    Dans l'intégrale majore la dérivée 5ème par 1.
    Intégrale de (x-t)^4=-(1/5)*(x-t)^5
    Donc l'intégrale entre 0 et x te donne (x^5)/120

    120>2 donc R(n)[x]<=(x^5)/120<=(x^5)/2

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