Bonjour voici ma question :
On dans mon cours bien démontré que la matrice d'un endomorphisme est inversible si et seulement si c'est un automorphisme. Mais cependant on a pas démontré que c'était aussi vrai pour deux espaces quelconques de même dimension (la matrice associée à une application entre deux espaces de même dimension est inversible si et seulement si c'est un isomorphisme)
Est ce quelque chose d'évident ? Qu'il n'y a pas besoin de justifier ?
Bonjour,
Au pire, tu peux le redémontrer rapidement : soit f une application linéaire d'un espace vectoriel E (soitune base) vers un espace vectoriel F. Tu sais que f est inversible ssi
If your method does not solve the problem, change the problem.
Merci pour ta réponse.
En fait on a pas encore fait les déterminants ^^.
Mais bon si la famille des colonnes est libre je pense que je peux prouver que l'application linéaire canonique (celle de K^n dans K^n, qui est bien un endomorphisme), est bijective. Et ensuite je retombe sur le cours. ça marche ?
Si E et F sont deux espaces vectoriels munis de bases B et B'.
Si f et g sont deux applications linéaires, f de E dans F et g de F dans E, représentées par les matrices M et N dans les bases considérées, alors fog et gof ont pour matrices respectives MN et NM.
Il est immédiat que f est un isomorphisme de bijection réciproque g si, et seulement si, M est inversible d'inverse N.
Ce qu'il faut savoir, c'est que les colonnes d'une matrice ne sont pas les images des vecteurs de la base de l'espace de départ, mais les coordonnées des images des vecteurs de la base de l'espace de départ.
Donc tu peux identifier tes deux espaces de même dimension E et F à un espace R^n, et l'application devient un automorphisme donc la matrice est inversible.
