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Question sur les matrices associées aux applications linéaires.



  1. #1
    Johncoltrane

    Question sur les matrices associées aux applications linéaires.


    ------

    Bonjour voici ma question :
    On dans mon cours bien démontré que la matrice d'un endomorphisme est inversible si et seulement si c'est un automorphisme. Mais cependant on a pas démontré que c'était aussi vrai pour deux espaces quelconques de même dimension (la matrice associée à une application entre deux espaces de même dimension est inversible si et seulement si c'est un isomorphisme)
    Est ce quelque chose d'évident ? Qu'il n'y a pas besoin de justifier ?

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Seirios

    Re : Question sur les matrices associées aux applications linéaires.

    Bonjour,

    Au pire, tu peux le redémontrer rapidement : soit f une application linéaire d'un espace vectoriel E (soit une base) vers un espace vectoriel F. Tu sais que f est inversible ssi est une base de F. Si E et F sont de même dimension (finie), est une base de F ssi elle est libre, c'est-à-dire si le déterminant de cette famille de vecteurs (qui est également le déterminant de la matrice de f) est non nul. Donc f est inversible ssi sa matrice est inversible.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  4. #3
    Johncoltrane

    Re : Question sur les matrices associées aux applications linéaires.

    Merci pour ta réponse.
    En fait on a pas encore fait les déterminants ^^.
    Mais bon si la famille des colonnes est libre je pense que je peux prouver que l'application linéaire canonique (celle de K^n dans K^n, qui est bien un endomorphisme), est bijective. Et ensuite je retombe sur le cours. ça marche ?

  5. #4
    God's Breath

    Re : Question sur les matrices associées aux applications linéaires.

    Si E et F sont deux espaces vectoriels munis de bases B et B'.
    Si f et g sont deux applications linéaires, f de E dans F et g de F dans E, représentées par les matrices M et N dans les bases considérées, alors fog et gof ont pour matrices respectives MN et NM.
    Il est immédiat que f est un isomorphisme de bijection réciproque g si, et seulement si, M est inversible d'inverse N.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Linkounet

    Re : Question sur les matrices associées aux applications linéaires.

    Ce qu'il faut savoir, c'est que les colonnes d'une matrice ne sont pas les images des vecteurs de la base de l'espace de départ, mais les coordonnées des images des vecteurs de la base de l'espace de départ.

    Donc tu peux identifier tes deux espaces de même dimension E et F à un espace R^n, et l'application devient un automorphisme donc la matrice est inversible.

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