Cours d'algèbre linéaire (à télécharger).

[antoineg]

Bonjour,

Je recherche un cours d'algèbre linéaire à télécharger.

Plus précisément sur:

-réduction de Jordan.
-les formes linéaires et espaces duals.
-produit scalaire.

Le pdf de mon prof est assez approximatif et les théorèmes ne sont plus démontrés.
Si votre université ou école en propose à télécharger je suis preneur!
Pareil en ce qui concerne des références de livres, je n'ai pas trouvé grand chose là dessus à la bibli...



J'ai aussi une petite question à la va-vite sur la réduction de Jordan.

Pour une application Alpha ayant une valeur propre Lambda.

**La taille maximale d'un bloc de Jordan pour une valeur propre est égal à sa multiplicité (de la valeur propre) dans le polynôme minimal de Alpha.
**Le nombre de blocs de Jordan pour une valeur propre est égal à la dimension de l'espace propre engendré par la valeur propre i.e: dim Ker(Alpha-lambda*Id).

Ces assertions sont elles justes ?
A partir de là, pour réduire une matrice sous la forme de Jordan, il s'agit de trouver le polynôme minimal, de le scinder pour avoir les valeurs propres et leur multiplicité, puis enfin, de construire la matrice de Jordan. Si je comprends bien ?

Merci d'avance et bonne soirée!
-----

[invite4ef352d8]

Salut !


oui ces assertions sont juste, elle viennent assez naturellement quand onsuis la preuve de la réduction de jordan.


en revanche pour ce que tu dis ensuite : "A partir de là, pour réduire une matrice sous la forme de Jordan, il s'agit de trouver le polynôme minimal, de le scinder pour avoir les valeurs propres et leur multiplicité, puis enfin, de construire la matrice de Jordan. Si je comprends bien ?
" et bien c'est pas aussi simple...


en faisant cela tu as le nombre de block pour chaque valeur propre lambda ainsi que la taille du plus grand block pour chaque valeur propres... mais ca ne te permetra pas toujours d'obtenir la forme de jordan (le plus souvent oui, mais pas toujours)

note aussi que la multiplicité de la valeur propre dans le polynôme caractéristiques te donne la somme des taille des block de jordan... mais même en ajoutant cette information il y a encore des cas ou c'est insufisant...


en revanche, il existe bien une methode "canonique" pour construire la matrice de jordan : il y a d'autres polynomes "interessant" à part le polynome minimal et le polynôme caractéristiques : qu'on appelle les "facteurs invariants" de la matrice (c'est une suite de polynomes Pi tel que Pi divise Pi+1, le dernier est le polynome minimal et leur produit est le polynome charactéristiques, on peut calculer algébriquement à partir des coef de la matrice) et cette famille de polynome caractérise entièrement la décomposition de dunford...

[antoineg]

J'ai donc comme informations "simples":

*multiplicité de Lambda dans le polynome caractéristique: somme des tailles des blocs de jordan de Lambda.
*multiplicité de Lambda dans le polynome minimal: taille maximale du plus grand bloc de Jordan de Lambda.
*dimension du sous espace engendré: nombre de blocs de Jordan.

ok.

J'aurai une autre question (si elle a un sens...) : quelle est la difference entre le sous espace Ker(A-lambda*Id), qui est le sous espace propre associé à Lambda et le sous espace primaire associé à Lambda ?
Il me semble que qu'il y a là une histoire de multiplicité, mais rien de clair/rigoureux dans mon cours...

Merci pour ton aide!

[invite4ef352d8]

Je ne suis pas sûr de ce que tu appelle "espace primaire" mais j'ai l'impression que c'est la même chose que "sous espace caractéristique"

si oui alors le sous espace caractéristique est l'espace définit par ker[ (f-lambda.id)^n ] pour n suffisamment grand (n = la multiplcité de lambda dans le polynôme minimal suffit) sa dimension est égal à la multiplicité de lambda dans le polynome caractéristiques et c'est le sous espaces correspondant a tout les block de jordan associé à la valeur propre lambda dans la décomposition de jordan...

pour tout endomorphisme (dont le polynome caractéristiqus est scindé ie par exemple si on est sur un corps algébriquement comme C) l'espace est somme des sous espace caractéristiques, et les sous espaces caractéristiques coincident avec les sous-espaces propres (qui sont en général inclu dedans) si et seulement si l'endomorphisme est diagonalisable...

[A voir en vidéo sur Futura]