2 questions d'Algèbre Linéaire

[invitea8b8e1ae]

Bonjour,

J'ai un DM d'algèbre linéaire qui normalement ne devrai pas me poser de problèmes, hélas je rencontre des difficultés avec certaines questions que voici :

Question 1 :
Prouver que T= {(X-1)^k, k appartenant à [0,n]} est une base de R_n[X]

> Mon professeur m'a dis d'utiliser la formule de Taylor. Voici ce que j'ai fais :
T(1)=0
T(X)=T(1)+(X-1)T'(1)+(X-1)²T''(1)/2!+...+(X-1)ⁿTⁿ(1)/n!
Je ne sais pas comment continuer...

Question 2 :
Soit E un espace vectoriel sur R.
Soit U={u_i, i appartenant à [1,n]} une famille de n vecteurs de E. (On pourra noter S la somme des u_i pour i allant de 1 à n)
Prouver que la famille V={v_i=u_i-S, i appartenant à [1,n]} est une famille libre.

> Voici ce que j'ai fait :
Considérons une combinaison linéaire nulle des vecteurs de V :
λ₁v₁+λ₂v₂+...+λ_nv_n=0
Montrons que λ₁=λ₂=...=λ_n=0
J'ai ensuite remplacé les v_n par leurs expressions en u_n-S, développé et voici ce à quoi j'arrive :
-S(λ₁+...+λ_n)+λ₁u₁+...+λ_nu_n=0
Que faire ensuite ?

Merci d'avance de votre aide
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[invitebe08d051]

Question 1 :[/U][/B]
Prouver que T= {(X-1)^k, k appartenant à [0,n]} est une base de R_n[X]

> Mon professeur m'a dis d'utiliser la formule de Taylor. Voici ce que j'ai fais :
T(1)=0
T(X)=T(1)+(X-1)T'(1)+(X-1)²T''(1)/2!+...+(X-1)ⁿTⁿ(1)/n!
Je ne sais pas comment continuer...

Da ma part, je dirai qu'il s'agit d'une famille de polynômes échelonnés de card n+1.

[thepasboss]

Bonsoir,

ce que tu sais, c'est que

,

donc l'expression t'amène à :



Et donc si tu exprime la liberté de la famille (u_i) tu as que chacune des sommes est nulle. Que se passe t-il ensuite si tu considère la différence de deux de ces sommes choisie arbitrairement ?

[invitea8b8e1ae]

Bonjour,
Premièrement merci d'avoir pris le temps de me répondre, mais j'avoue ne pas avoir tout compris...

thepasboss, je ne comprend pas comment tu as traduit l'énnoncé de la question 2 en la première formule que tu as écrite (). Ton Sigma représente la somme S ? pourquoi j différent de i ?

mimo13, je ne sais pas ce qu'est une famille de polynômes échelonnés... Comment prouver que cette famille est une base ?

Merci d'avance de votre aide

[A voir en vidéo sur Futura]

[thepasboss]

Pour la question 1, tu sais que ton espace est de dimension n+1 et tu as montré que ta famille était génératrice et de cardinal n+1. Conclusion ?

Sinon pour mon calcul :

[invitea8b8e1ae]

Pour la question 2 c'est compris. En faisant la différence de sommes choisie arbitrairement, on tombe sur 0, donc tout les coefficients de la combinaison linéaire nulle des vecteurs de u_i sont nuls, donc la famille est libre. C'est OK, merci

Pour la question 1 en revanche, je ne vois pas en quoi ce que j'ai fait montre que c'est une famille génératrice et qu'elle est de cardinal n+1...

[thepasboss]

Pour être plus précis, dans la question 2 tu montre que tous les coefficients sont égaux, donc tous nuls.

Pour la question 1, tu as 1, X-1, (x-1)² , ... , (x-1)^n donc n+1 éléments. Tu as montré avec la formule de Taylor que tout élément de ton espace peut s'écrire comme combinaison linéaire d'éléments de la famille T. Donc que T est génératrice.

[invitea8b8e1ae]

Ok pour la question 2.

Pour la 1 : donc T étant génératrice de Rn[X]
T est de cardinal n+1 et l'espace de dimension n+1, T est libre
T étant génératrice et libre, T est une base de Rn[X]

n'est-ce pas ?

[thepasboss]

Non une famille de n+1 vecteur dans un espace de dimension n+1 n'est pas forcement libre !

C'est un théorème spécifique aux espaces vectoriel qui dit que toute famille génératrice de cardinal la dimension de l'espace (ici n+1) est forcement une base.

[invitea8b8e1ae]

Ha oui c'est dans mon cours ça. Merci, mes deux questions sont résolue, il me reste plus qu'a rédiger sa proprement. Merci de votre aide