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2 questions d'Algèbre Linéaire



  1. #1
    Wed16

    Thumbs up 2 questions d'Algèbre Linéaire


    ------

    Bonjour,

    J'ai un DM d'algèbre linéaire qui normalement ne devrai pas me poser de problèmes, hélas je rencontre des difficultés avec certaines questions que voici :

    Question 1 :

    Prouver que T= {(X-1)k, k appartenant à [0,n]} est une base de Rn[X]

    > Mon professeur m'a dis d'utiliser la formule de Taylor. Voici ce que j'ai fais :
    T(1)=0
    T(X)=T(1)+(X-1)T'(1)+(X-1)²T''(1)/2!+...+(X-1)nTn(1)/n!
    Je ne sais pas comment continuer...

    Question 2 :
    Soit E un espace vectoriel sur R.
    Soit U={ui, i appartenant à [1,n]} une famille de n vecteurs de E. (On pourra noter S la somme des ui pour i allant de 1 à n)
    Prouver que la famille V={vi=ui-S, i appartenant à [1,n]} est une famille libre.

    > Voici ce que j'ai fait :
    Considérons une combinaison linéaire nulle des vecteurs de V :
    λ1v12v2+...+λnvn=0
    Montrons que λ12=...=λn=0
    J'ai ensuite remplacé les vn par leurs expressions en un-S, développé et voici ce à quoi j'arrive :
    -S(λ1+...+λn)+λ1u1+...+λnun=0
    Que faire ensuite ?

    Merci d'avance de votre aide

    -----

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  3. #2
    mimo13

    Re : 2 questions d'Algèbre Linéaire

    Citation Envoyé par Wed16 Voir le message
    Question 1 :[/U][/B]
    Prouver que T= {(X-1)k, k appartenant à [0,n]} est une base de Rn[X]

    > Mon professeur m'a dis d'utiliser la formule de Taylor. Voici ce que j'ai fais :
    T(1)=0
    T(X)=T(1)+(X-1)T'(1)+(X-1)²T''(1)/2!+...+(X-1)nTn(1)/n!
    Je ne sais pas comment continuer...
    Da ma part, je dirai qu'il s'agit d'une famille de polynômes échelonnés de card n+1.

  4. #3
    thepasboss

    Re : 2 questions d'Algèbre Linéaire

    Bonsoir,

    ce que tu sais, c'est que

    ,

    donc l'expression t'amène à :



    Et donc si tu exprime la liberté de la famille (u_i) tu as que chacune des sommes est nulle. Que se passe t-il ensuite si tu considère la différence de deux de ces sommes choisie arbitrairement ?

  5. #4
    Wed16

    Re : 2 questions d'Algèbre Linéaire

    Bonjour,
    Premièrement merci d'avoir pris le temps de me répondre, mais j'avoue ne pas avoir tout compris...

    thepasboss, je ne comprend pas comment tu as traduit l'énnoncé de la question 2 en la première formule que tu as écrite (). Ton Sigma représente la somme S ? pourquoi j différent de i ?

    mimo13, je ne sais pas ce qu'est une famille de polynômes échelonnés... Comment prouver que cette famille est une base ?

    Merci d'avance de votre aide

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    thepasboss

    Re : 2 questions d'Algèbre Linéaire

    Pour la question 1, tu sais que ton espace est de dimension n+1 et tu as montré que ta famille était génératrice et de cardinal n+1. Conclusion ?

    Sinon pour mon calcul :


  8. #6
    Wed16

    Re : 2 questions d'Algèbre Linéaire

    Pour la question 2 c'est compris. En faisant la différence de sommes choisie arbitrairement, on tombe sur 0, donc tout les coefficients de la combinaison linéaire nulle des vecteurs de ui sont nuls, donc la famille est libre. C'est OK, merci

    Pour la question 1 en revanche, je ne vois pas en quoi ce que j'ai fait montre que c'est une famille génératrice et qu'elle est de cardinal n+1...

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  10. #7
    thepasboss

    Re : 2 questions d'Algèbre Linéaire

    Pour être plus précis, dans la question 2 tu montre que tous les coefficients sont égaux, donc tous nuls.

    Pour la question 1, tu as 1, X-1, (x-1)² , ... , (x-1)^n donc n+1 éléments. Tu as montré avec la formule de Taylor que tout élément de ton espace peut s'écrire comme combinaison linéaire d'éléments de la famille T. Donc que T est génératrice.

  11. #8
    Wed16

    Re : 2 questions d'Algèbre Linéaire

    Ok pour la question 2.

    Pour la 1 : donc T étant génératrice de Rn[X]
    T est de cardinal n+1 et l'espace de dimension n+1, T est libre
    T étant génératrice et libre, T est une base de Rn[X]

    n'est-ce pas ?

  12. #9
    thepasboss

    Re : 2 questions d'Algèbre Linéaire

    Non une famille de n+1 vecteur dans un espace de dimension n+1 n'est pas forcement libre !

    C'est un théorème spécifique aux espaces vectoriel qui dit que toute famille génératrice de cardinal la dimension de l'espace (ici n+1) est forcement une base.

  13. #10
    Wed16

    Re : 2 questions d'Algèbre Linéaire

    Ha oui c'est dans mon cours ça. Merci, mes deux questions sont résolue, il me reste plus qu'a rédiger sa proprement. Merci de votre aide

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