Espace vectoriel normé, densité
Bonjour, je me posais une question :
Dans un espace vectoriel normé (EVN) de dimension finie (donc isomorphe à R^n), on peut trouver un sous ensemble dense (quelque chose d'isomorphe à Q^n) tel que sont complémentaire soit dense. Cette affirmation est elle juste ?
Mais dans le cas d'un EVN de dimension infinie, c'est toujours possible ?
Bonsoir,
Si on prend Z/2Z muni de la norme N : Z/2Z -> R+, telle que N(0)=0 et N(1) = 1, alors une partie dense de Z/2Z pour la topologie induite par cette norme est forcément Z/2Z tout entier, de complémentaire vide donc non dense.
Bon c'est un exemple un peu tiré par les cheveux mais il montre bien que les hypothèses ne suffisent pas. Sinon dans le cas de la dimension infinie j'ai envie de dire non, mais je n'ai pas d'idée de contre exemple (peut-être en trouvant une norme bizarre sur (Z/2Z)[X] ?)
Si on regarde Z dans Z :
Y'a t'il des fermés (par exemple {1}) ?
Des ouverts ?
Y'a t'il des ensembles dont toutes les parties sont des ouverts-fermés ?
Vous posez ces questions comme si la notion d'ouvert était liée à un ensemble, alors qu'elle est liée à la topologie sur cet ensemble, par exemple {1} est un fermé dans Z pour la topologie discrète (c'est la topologie usuelle), mais n'est pas fermé pour la topologie grossière, dont les seuls fermés sont le vide et Z tout entier.Envoyé par Charon133
Et pour votre deuxième question, mal posée, la réponse est "il existe une topologie sur n'importe quel ensemble telle que toutes les parties soient à la fois des ouverts et des fermés : la topologie discrète".
Dans la mesure où, avec axiome du choix, tout espace vectoriel admet une base, et que tout élément de cet espace vectoriel s'exprime comme une combinaison linéaire finie des éléments de cette base, il me semble que la réponse est oui (pour les espace vectoriel sur un corps contenant une partie dense).
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Je ne sais pas ce qu'est une topologie discrète, ni grossière. Je viens juste de commencer à étudier la topologie (et encore, le mot n'étant jamais clairement employé dans le cours d'analyse). Je vais me renseigner sur point.
