Discuter de la convergence

[lilipletz]

Bonjour tout le monde

Voila, j'ai un exercice dans lequel je bloque légèrement :/

Voici l'énoncé :

Discuter en fonction de alpha, la convergence de la suite (xn) définie par xn+1 = (xn)² / 3 & x0 = alpha

Alors voici mon raisonement :

Je suppose la suite convergente en b,
<=> xn+1 = xn = b
<=> (b)² / 3 = b
<=> b = 3

Ensuite par récurence je démontre que la suite converge bel et bien !
Cependant lors de l'initialisation de la récurrence : je suis obligé de faire l'hypothèse que alpha <= 3

Il paraît évident que si alpha > 3 , la suite diverge (premier terme plus grand que la "potentielle" limite).

J'en arrive à ce stade là, cependant mon corrigé m'indique que je peux écrire xn de la forme xn = 3 (alpha/3) ^(2n)
Et en déduire que si alpha < 3, la suite converge en 0, si alpha > 3 la suite diverge et si alpha = 3 la suite converge en 3...

Pourriez-vous m'indiquer mon erreur svp ?
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[lilipletz]

Même avec le critère de d'alembert et de Cauchy je ne vois pas comment faire :/

[invite78db18db]

b²/3=3 n'est pas équivalent à b=3...

Ici tu as un cas classique de suite définit par récurrence via une fonction f(x)=x²/3 relativement simple.

En théorie il faut s'intéresser aux points critiques/attracteurs mais ici c'est assez simple :

si alpha est supérieur strictement à 3 ta suite ne peut pas converger car elle est croissante et minorée par 3 (donc elle diverge)
si alpha = 3 ta suite est constante
si 0<alpha<3, ta suite est décroissante minorée par 0

ensuite si alpha est négatif c'est pareil, puisque x1 sera positif de toutes façon ça ne changera pas grand chose.

si alpha=-3 la suite est constante à partir de x1
si alpha < -3 la suite diverge
si alpha >-3 ta suite converge

[lilipletz]

b²/3=3 n'est pas équivalent à b=3...

Ici tu as un cas classique de suite définit par récurrence via une fonction f(x)=x²/3 relativement simple.

En théorie il faut s'intéresser aux points critiques/attracteurs mais ici c'est assez simple :

si alpha est supérieur strictement à 3 ta suite ne peut pas converger car elle est croissante et minorée par 3 (donc elle diverge)
si alpha = 3 ta suite est constante
si 0<alpha<3, ta suite est décroissante minorée par 0

Désolé, mais je ne vois pas du tout comment tu fais pour conclure ça ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[lilipletz]

Ps = si tu te bases sur l'équation : xn = 3 (alpha/3)^2n je ne sais pas comment l'obtenir ...

[invite78db18db]

Pour la première :
Tu as montré que si la suite converge c'est vers 0 ou 3.
Si alpha est supérieur strictement à 3, on a xn+1/xn=xn/3
Une récurrence te montre que xn est toujours supérieur à 3 si alpha est supérieur à 3 donc xn est bien croissante et elle ne risque pas de converger vers 3... (je parle de croissance et d'inégalité stricte).

Si alpha est égal à 3, ta suite est constante, x1=3²/3=3 etc.... donc en effet ta suite converge vers 3... (c'est un point répulsif).

Si alpha est inférieur à 3, on a toujours par récurrence que xn<3 et donc la suite est décroissante, or xn est positif puisqu'elle est égale à un carré donc minorée par 0 et décroissante => convergente.

Tout ça s'étudie très bien en traçant la courbe de la fonction x²/3 d'ailleurs...

[invite78db18db]

b²/3=b n'est pas équivalent à b=3...

Petit oubli ici

[lilipletz]

Et au fait :
Si b² / 3 = b, on a bien b = 3 :/ non ?

[invite78db18db]

... ou b=0

[lilipletz]

Pour la première :
Tu as montré que si la suite converge c'est vers 0 ou 3.
Si alpha est supérieur strictement à 3, on a xn+1/xn=xn/3
Une récurrence te montre que xn est toujours supérieur à 3 si alpha est supérieur à 3 donc xn est bien croissante et elle ne risque pas de converger vers 3... (je parle de croissance et d'inégalité stricte).

Si alpha est inférieur à 3, on a toujours par récurrence que xn<3 et donc la suite est décroissante, or xn est positif puisqu'elle est égale à un carré donc minorée par 0 et décroissante => convergente.

Tout ça s'étudie très bien en traçant la courbe de la fonction x²/3 d'ailleurs...

Ma dernière question (merci de ton aide =) ) :

Peux-tu détailler une des deux récurrences stp :'(

[lilipletz]

Parceque en partant du fait que xn+1 = xn² / 3
On a alors : xn+1/ xn = xn / 3

Donc avec le critère d'alembert, on peut dire que si Lim(xn/3) > 1, la suite diverge ... mais il reste à étudier le comportement de xn...

[invite78db18db]

Onest dans le cas où alpha > 3
On a donc x0 > 3
Maintenant supposons que xn > 3
Alors xn+1=xn²/3 >3²/3>=3
D'où xn>3 => xn+1>3 pour n entier

Donc pour n entier, xn>3

Tu peux aussi montrer par récurrence qu'on a bien une suite géométrique de raison alpha²/3

[lilipletz]

Onest dans le cas où alpha > 3
On a donc x0 > 3
Maintenant supposons que xn > 3
Alors xn+1=xn²/3 >3²/3>=3
D'où xn>3 => xn+1>3 pour n entier

Donc pour n entier, xn>3

Tu peux aussi montrer par récurrence qu'on a bien une suite géométrique de raison alpha²/3

D'accord, je vois donc forcément ici xn+1 - xn > 0 donc (xn) croissante

Mais pour le cas alpha < 3; alors xn < 3
Mais comment savoir si xn+1 - xn < 0 ?
J'aurais tendance à dire que xn+1 - xn = (xn² / 3) - xn
= [xn ( xn - 3)] / 3
Comme xn <3, alors (xn - 3) < 0 donc (xn) décroissante

C'est correct ?

[lilipletz]

ah oui en fait j'aimerais bien savoir comment tu conclues qu'elle est minorée par 0 après c'est bon (merci encore) !

[lilipletz]

Enfin ça paraît évident d'après la formule initiale : xn est positive
xn+1 = xn² / 3
Alors si (xn) décroissante elle est minorée par 0 mais ça me paraissait peu rigoureux :/

[invite78db18db]

xn est minorée par 0 de toutes façon.

Si elle est en plus décroissante elle converge, sinon on ne peut rien dire, mais ici tu as d'autres infos.

[lilipletz]

Merci encore de m'avoir donné de ton temps : i know how to do right now
thanks dude