Problème soumis pour un devoir d'entrainement de L2 :

Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie n > 1. On veut prouver, pour tout endomorphisme
f de E, l’existence de
p = min{k appartenant {1,....,n} ; E = Ker(f^k) somme directe Im(f^k)}

A/ Exemples
A.1. Déterminer p quand f appartient à GL(E),
A.2. Déterminer p lorsque E = R3 et f est l’endomorphisme de E de matrice (relativement
à la base canonique de R3) :
A= 4 -1 5
-2 -1 -1
-4 1 -5




Voici mes réflexions que je voudrais te soumettre car je ne suis pas certaine que je raisonne correctement :
-il me semble (mais je suis pas certaine que ce soit une condition nécessaire) que pour que Ker(f^k) soit en somme directe avec Im(f^k)), il suffit que Ker(f^k)={0}, le théorème du rang nous donne que rg(f)=dim(Im(f^k))=dim(E)-dim(Ker(f^k)) et d'ailleurs dans ce cas on a une bijection et on est certain que la condition est réalisée. Et Ker(f^k) et (Im(f^k)) sont deux sous-espaces vectoriels de E puisque f appartient au groupe linéaire de ESi donc Ker(f^k)={0} alors Ker(f^k)est en somme directe avec Im(f^k)), on a Ker(f^k)sommedirecte(Im(f^k))= sous-espace vectoriel de E mais le théorème de rang nous donne que ce sous-espace vectoriel est de même dimension que E c'est donc E. Je ne sais pas si c'est très clair mais je comptais baser ma recherche de k là dessus en composant f sur Ker(f) jusqu'à trouver que la seule solution de f^k(x)=0 soit x=0 Du coup pour A1, je trouve p=1 ( E est de dimension 1 donc obligatoirement Ker(f^k)={0} quelque soit k) pour A2, p= 2 , bon je ne détaille pas car si mon hypothèse, si mon fil conducteur n'est pas celui-là, c'est pas la peine de vous ennuyer davantage;La question essentielle que je me pose c'est si Ker(f^k) est de dimension 1 par exemple pour A2, on pourrait très bien avoir Im(f^k) de dimension 2 et dans ce cas E est bien de dimension 3 mais je ne suis pas certaine que les deux sous-espaces soient en somme directe alors que si Ker(f^k)={0}, j'en suis certaine mais est-ce la seule solution ?
Merci pour votre aide éventuelle