Problème d'algèbre linéaire sur les espaces vectoriels

[invitef8037e5d]

Bonsoir, j'ai un problème sur un exo, voivi l'énoncé :
Montrer que le sous-espace de IR³ engendré par les vecteurs (1,2,3),(2,-1,1) et (1,1,2) et le sous-espace de IR³ engendré par les vecteurs (1,0,1) et (0,1,1) sont identiques.

Merci de bien vouloir m'aider j'attends votre réponse...
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[invite57a1e779]

Il suffit d'exprimer les vecteurs de chacune des familles génératrices en fonction des vecteurs de l'autre famille génératrice.

[invitef8037e5d]

ok, j'avais un petit peu penser à ça, tu veux dire que je dois montré que l'un est inclue dans l'autre et l'autre et inclue dans l'un ? Mais cela voudrais dire que je dois résoudre 5 matrices ?

[Arkangelsk]

ok, j'avais un petit peu penser à ça, tu veux dire que je dois montré que l'un est inclue dans l'autre et l'autre et inclue dans l'un ? Mais cela voudrais dire que je dois résoudre 5 matrices ?

Je reformule ce qu'a dit God's Breath : il suffit que tu exprimes les vecteurs de l'une des familles génératrices comme combinaison linéaire des vecteurs de l'autre famille génératrice.

Mais cela voudrais dire que je dois résoudre 5 matrices ?

Pas besoin de "résoudre 5 matrices" ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Résoudre



c'est quand même vite fait...

[invitef8037e5d]

Ok, mais il faut faire aussi çà ? :
(1,0,1) = a₁(1,2,3)+a_2(2,-1,1)+a3(1,1,2)

(0,1,1) = b₁(1,2,3)+b_2(2,-1,1)+b3(1,1,2)

Ou ce n'est pas utile ?

[invite57a1e779]

Il faut effectivement obtenir des expressions


mais j'espère que les relations trouvées dans l'autre sens permettront d'en déduire facilement celles-ci.

[invitef8037e5d]

Je trouve :a₁=a₃= 1 , a₂=2
b₁=2, b₂=-1, b₃=1

Pour les 3 premieres

[invite57a1e779]

Tu as effectivement

Tu peux te débrouiller pour en déduire des combinaisons qui éliminent ou afin de calculer l'autre...

[invitef8037e5d]

Oui ok, mais je ne comprends pas la suite, peux-tu m'aider à finir l'exo ?
Merci bien.

[invite57a1e779]

Quand je vois les deux dernières égalités, j'ai immédiatement envie d'écrire , donc .
Tu fais de même pour avoir .

[invitef8037e5d]

Je trouve (0,1,1) = -1/4(2,-1,1) +1/4(1,2,3) +1/4(1,1,2)
C'est bien ça ?
Et comment je conclue l'exercice aussi ? Pour dire que c'est identique

[invite57a1e779]

Je voyais , mais ta solution convient également.

A partir de ces relations entre vecteurs, il n'est pas difficile de prouver, par double inclusion, que le sous-espace de engendré par (1,2,3), (2,-1,1) et (1,1,2) et celui engendré par (1,0,1) et (0,1,1) sont égaux.

[invitef8037e5d]

Oui ok, mais on n'a jamais vraiment fait de double inclusion, donc si tu pourrai m'expliquer comment prouver ce serait vraiment très très sympa.
Merci beaucoup pour m'avoir aider.

[invite57a1e779]

Soit un élément du sous-espace de engendré par (1,2,3), (2,-1,1) et (1,1,2), il s'exprime comme combinaison linéaire des vecteurs générateurs : . Il ne doit pas être très difficile de l'exprimer comme combinaison linéaire de (1,0,1) et (0,1,1), et conclure qu'il appartient à l'autre sous-espace.
Tu recommences dans l'autre sens...