Formule de Taylor

[invite340b7108]

Bonjour,

Je bloque sur un petit exercice sur la formule de Taylor. J'ai pour x appartient [-1,1] :



J'ai montrer que tous les termes étaient positifs parce que il y a une somme de termes positifs et une intégrale d'une fonction positive, donc positive (parce l'exercice nous dit qu'on déduit que f et toutes ses dérivées sont positives sur le segment)

Maintenant je dois en déduire que



Mais je n'arrive pas à "enlever" le (1-t)^n/n! de l'intégrale.
-----

[Seirios]

Bonjour,

L'inégalité revient à montrer que , ce qui est évident puisque tu as montrer que les termes de la somme étaient positifs.

[invite340b7108]

Ah oui. Olala, moi qui me cassait la tête avec l'intégrale...j'ai honte

Merci

[invite340b7108]

Est-ce que c'est bon si j'en déduis que la rayon de convergence de la serie entière de terme général est plus grand que 1 car le rayon de la serie de terme general est 1 ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Oui, bien sûr. Si tu doutes, refais la démonstration : soient deux séries entières de terme général respectif et telles que . Soient R et R' leur rayon de convergence respectif ; alors pour tout , , donc converge absolument (puisque converge absolument), d'où on déduit que .

EDIT : il faut bien sûr .

[invite340b7108]

Ah merci pour la démonstration, je n'arrivais pas à retrouver pourquoi on avait .