différentielle

[invite3ce7e460]

Bonjour tt le monde, voilà je ne comprends pas pourquoi l'application qui a une fonction de classe C² associe sa différentielle seconde, est continue..
Merci de m'éclairer sur ce sujet.
-----

[invitea41c27c1]

Il faut préciser la topologie !!!
En général cette fonction n'est pas continue sauf si on prend une topologie du type celle utilisée dans la théorie des distributions.

[invite3ce7e460]

ET bien l'ensemble de définition de la fonction est l'espace de banach des fonctions de classe C² de [0;1] dans R.
Peux tu m'expliqué pourquoi elle est continue dans ce cas-là?

[invite3ce7e460]

Je reformule mon problème:

On note F l’espace de Banach des applications continues f de [0, 1] dans R muni de la norme de la convergence uniforme : //f// = supt∈[0,1] |f(t)|.

On note E l’espace de Banach des fonctions y de classe C² de [0, 1] dans R qui s’annulent en 0 et en 1, muni de la norme ///y/// = supt∈[0,1] |y''(t)| + supt∈[0,1] |y'(t)| + supt∈[0,1] |y(t)|.

On considère l’application ϕ : E → F définie par ϕ(y) = y'' + h·y'.y' + k·y.y, ou h et k sont deux fonctions réelles continues données sur [0, 1]. (Le "." est à comprendre au sens "multiplier")

Voilà les questions que je dois résoudre:

1) Montrer que l’application W : E × E → F d´efinie par W(y, z) = h·y'·z' + k·y·z est bilinéaire continue.

2) Montrer que ϕ est de classe C1 sur E et calculer la différentielle ϕ'(0) de ϕ en 0.

3) Montrer que ϕ'(0) est un isomorphisme de E sur F.

Pour la question 1, montrer la bilinéarité ca va mais lacontinuité me pose problème, je ne vois pas comment montrer que l'application y,z)→y'.z' est continue.
Du coup, pour la question 2, je ne comprends pas pourquoi l'application :y→y'' est continue (elle est linéaire donc la continuité me permettrait de conclure qu'elle est C1 et donc que ϕ est C1). J'ai quand même calculé ϕ'(0) et je trouve ϕ'(0):h→h''.
Et donc pour la dernière question, je ne vois pas pourquoi ϕ'(0) est continue et bijective de E dans F.

Un gros merci d'avance parcque là je galère vraiment...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea41c27c1]

Eh bien voilà, la question est plus claire !!

Pour résoudre les problèmes de continuité il y a les théorèmes suivants (qui sont indispensables) :

Pour linéaire. est continue ssi .

Pour bilinéaire. est continue ssi .

(Je peux te détailler la démo si tu le veux)

Dans ton problème il est facile de trouver la contante pour montrer que et sont continues.

J'ai quand même calculé ϕ'(0) et je trouve ϕ'(0):h→h''.
Et donc pour la dernière question, je ne vois pas pourquoi ϕ'(0) est continue et bijective de E dans F.

L'expression de ϕ'(0) est exact. Pour la continuité il juste à appliquer le théorème et pour la bijectivité tu peux par exemple expliciter la bijection réciproque (N'oublie pas que dans tes espaces les fonctions s'annullent aux bords !)

[invite3ce7e460]

Merci beaucoup, juste je n'arrive pas à expliciter la bijection réciproque...(si tu pouvais m'aidé encore un peu ca serait super!)

[invitea41c27c1]

Hmmm... en fait c'est plus simple de montrer qu'elle est injective et surjective.

Si tu veux avoir la bijection réciproque voilà l'idée :
Soit . On note la primitive seconde qui s'annulle en 0 et dont la dérivée s'annule aussi en 0 : , .
est alors du type : exprime alors en fonction de pour que s'annule au bord.