Algèbre linéaire : famille libre liée et génératrice

[invite63932031]

Bonsoir, je voudrais savoir qu'elle est la démonstration à faire pour démontrer si une famille est génératrice ou non.

-pour qu'elle soit liée, il faut que la famille de scalaire : (h₁,h₂,...,h_n) ne soit pas toute nulle tel que h₁V₁+h₂V₂+...+h_nV_n = 0.

-pour qu'elle soit libre, il faut que cette famille de scalaire soit toute nulle.

-et pour qu'elle soit génératrice, il faut que je montre qu'il existe un vecteur(x,y,z) par exemple si on est dans R³. tel que (x,y,z) = h₁V₁+h₂V₂+...+h_nV_n
c'est à dire qu'il est combinaison linéaire de la famille?

Est-ce correct ?

Merci de bien vouloir m'aider.
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[invitea0db811c]

Bonsoir,

Pour que la famille soit génératrice d'un espace, il faut que tout vecteur de cet espace puisse être écrit comme combinaison linéaire des vecteurs de la famille, pas seulement qu'il existe un vecteur qui s'écrive comme combinaison linéaire de la famille. En effet sinon toute famille est génératrice (prend le vecteur nul)

[invite63932031]

Ok, mais pour le démontrer, je dois procéder comment ?

[invitea0db811c]

Bah y'a pas vraiment de méthode général. Ca dépend de ton espace et de ta famille, il faut trifouiller. Tu prend un vecteur quelconque x, et tu montre qu'il existe un n-uplet (h1,...,hn) tel que x=h1v1 + ... + hn*vn. Je vois rien de mieux à dire dans le cas général.

Après si tu te trouve en dimension finie y'a des méthodes plus expéditives. Il est en général plus simple de montrer qu'une famille est libre, et donc en dimension finie (on va dire en dimension n), si tu as une famille libre de n vecteur, elle est automatiquement génératrice.

[A voir en vidéo sur Futura]