Famille libre et génératrice

[inviteb7283ac9]

Bonjour,
Voici mon probleme :
E est un espace vectoriel sur R de dimension 4
u est un endomorphisme de E tel que u²=-Id_E

Je sais que si x₁ est un vecteur non nul de E,alors la famille (x₁,u(x₁)) est libre

Je dois démontrer que si x₂ n'appartient pas au plan engendré par (x₁,u(x₁)) on a : (x₁,u(x₁),x₂,u(x₂)) Base de E

Et je n'y arrive pas : je sais que (x₁,x₂,u(x₁)) est libre et que (x₂,u(x₂)) l'est également...ms cela ne me suffit pas pour conclure. J'aurais aimé avoir une piste pour achever la démonstration.

Merci de votre collaboration
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[invite57a1e779]

Tu considères uen relation .
Tu calcules l'image par pour obtenir une seconde équation.
Tu combines les deux équations pour éliminer .
Tu conclus.

[inviteb7283ac9]

c'est ce que j'avais tenter de faire (comme à la question précédente d'ailleurs), et j'avais cru tomber ds une impasse...je vais dc appronfondir mon travail pour voir mes erreurs

Merci

[invite69d38f86]

supposons que u(x2) = a x2 + b y (y dans x1,ux1)
uu(x2) = -x2 = a ux2 + b uy = aa x2 + aby + b u y
on a (-1 - aa) x2 =ab y + b u y
donc x2 dans le plan x1 ux1 ce qui est contraire a l'hypothèse
donc ux2 nest pas dans x1,ux1,x2

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb7283ac9]

pas mal...pas mal du tt!
Merci!